Determine o limite a seguir

lim θ → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ θ s e n   2 θ      

Passo 1

Já sabemos que

lim θ → 0 ⁡ s e n   θ θ = lim θ → 0 ⁡ θ s e n   θ = 1

Precisamos encontrar uma expressão parecida com essa então...

Primeiramente vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado, ou seja, por 1 + cos ⁡ θ

lim θ → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ θ s e n   2 θ = lim θ → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ θ s e n   2 θ   . 1 + cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ = lim θ → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ θ ( s e n   2 θ ) ( 1 + cos ⁡ θ )

Lembrando que

s e n   2 θ = 2   s e n θ cos ⁡ θ

E que

s e n 2   θ + cos 2 ⁡ θ = 1 →   s e n 2   θ = 1 - cos 2 ⁡ θ

Então podemos dizer que

lim θ → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ θ ( s e n   2 θ ) ( 1 + cos ⁡ θ ) = lim θ → 0 ⁡ s e n 2   θ ( 2   s e n θ cos ⁡ θ ) ( 1 + cos ⁡ θ )

Cortando o seno do numerador com o do denominador, teremos

lim θ → 0 ⁡ s e n   θ ( 2 cos ⁡ θ ) ( 1 + cos ⁡ θ ) = 0 2   .   2 = 0

Resposta

0

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