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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.4 - Ex. 31

Determine o limite a seguir

underset(theta -> 0)(lim) (1 - cos theta)/(s e n 2 theta)

Passo 1

Já sabemos que

underset(theta -> 0)(lim) (s e n theta)/(theta) = underset(theta -> 0)(lim) (theta)/(s e n theta) = 1

Precisamos encontrar uma expressão parecida com essa então...

Primeiramente vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado, ou seja, por 1 + cos theta

underset(theta -> 0)(lim) (1 - cos theta)/(s e n 2 theta) = underset(theta -> 0)(lim) (1 - cos theta)/(s e n 2 theta) . (1 + cos theta)/(1 + cos theta) = underset(theta -> 0)(lim) (1 - cos^2 theta)/(( s e n 2 theta ) ( 1 + cos theta ))

Lembrando que

s e n 2 theta = 2 s e n theta cos theta

E que

s e n^2 theta + cos^2 theta = 1 -> s e n^2 theta = 1 - cos^2 theta

Então podemos dizer que

underset(theta -> 0)(lim) (1 - cos^2 theta)/(( s e n 2 theta ) ( 1 + cos theta )) = underset(theta -> 0)(lim) (s e n^2 theta)/(( 2 s e n theta cos theta ) ( 1 + cos theta ))

Cortando o seno do numerador com o do denominador, teremos

underset(theta -> 0)(lim) (s e n theta)/(( 2 cos theta ) ( 1 + cos theta )) = (0)/((2) . (2)) = 0

Resposta

0

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