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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.3 - Ex. 39

Encontre o limite.

underset(x -> 0)(lim) (sen 3 x)/(x)

Passo 1

Como

underset(x -> 0)(lim) sen 3 x = 0

E

underset(x -> 0)(lim) x = 0

Temos então, uma indeterminação do tipo (0)/(0) .

Passo 2

Podemos neste caso, aplicar a troca de variáveis w = 3 x ou x = w // 3 , de modo que quando x -> 0 então w -> 0 e x != 0 implica em w != 0 , logo:

underset(x -> 0)(lim) (sen 3 x)/(x) = underset(w -> 0)(lim) (sen w)/((w)/(3))

underset(w -> 0)(lim) (sen w)/((w)/(3)) = underset(w -> 0)(lim) 3 (sen w)/(w)

Passo 3

Já que o limite do produto é igual ao produto dos limites:

underset(x -> 0)(lim) 3 (sen w)/(w) = underset(w -> 0)(lim) 3 xx underset(w -> 0)(lim) (sen w)/(w) = 3 underset(w -> 0)(lim) (sen w)/(w)

Com base no limite fundamental: underset(x -> 0)(lim) (sen x)/(x) = 1 então underset(w -> 0)(lim) (sen w)/(w) = 1 . Desse modo, temos que:

3 underset(w -> 0)(lim) (sen w)/(w) = 3 xx 1 = 3

Logo:

underset(x -> 0)(lim) (sen 3 x)/(x) = 3

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (sen 3 x)/(x) = 3

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