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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.3 - Ex. 4b

Calcule underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f (x))/(h) sendo f dada por

f (x) = 2 x^2 + x

Passo 1

Para calcular esse limite vamos primeiro substituir a função f (x) = 2 x^2 + x no limite:

underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f (x))/(h) = underset(h -> 0)(lim) (2 (x + h)^2 + x + h - (2 x^2 + x))/(h)

Podemos pensar em calcular esse limite apenas substituindo o valor 0 na expressão, entretando, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

(0)/(0)

Vamos então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, só analisar um pouco e vamos descobrir, calma que vai da certo!

Passo 2

Vamos tentar manipular o numerador, resolvendo a expressão elevada ao quadrado:

underset(h -> 0)(lim) (2 (x + h)^2 + x + h - (2 x^2 + x))/(h) = underset(h -> 0)(lim) (2 (x^2 + 2 x h + h^2) + x + h - 2 x^2 - x)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (2 x^2 + 4 x h + 2 h^2 + x + h - 2 x^2 - x)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (4 x h + 2 h^2 + h)/(h)

Agora podemos colocar o h em evidência e simplificar com o h do denominador, vamos lá:

underset(h -> 0)(lim) (4 x h + 2 h^2 + h)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (h (4 x + 2 h + 1))/(h) = underset(h -> 0)(lim) 4 x + 2 h + 1

Passo 3

Pronto, agora é simples, só substituir o valor 0 na expressão:

underset(h -> 0)(lim) 4 x + 2 h + 1 = 4 x + 2 * 0 + 1 = 4 x + 1

Resposta

underset(h -> 0)(lim) (2 (x + h)^2 + x + h - (2 x^2 + x))/(h) = 4 x + 1

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Em qual intervalo a função f (x) = c o s s e c x é contínua ?
Em qual intervalo a função h (x) = x^((- 2)/(3)) é contínua ?
Em qual intervalo a função k (x) = x^((- 1)/(6)) é contínua ?
Em qual intervalo a função f (x) = t g x é contínua ?
Em qual intervalo a função f (x) = x^((3)/(4)) é contínua ?