Calcule lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h sendo f dada por

f(x) = 1 / x

Passo 1

Para calcular esse limite vamos primeiro substituir a função f x = 1 x no limite:

lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h = lim h → 0 ⁡ 1 x + h - 1 x h

Podemos pensar em calcular esse limite apenas substituindo o valor 0 na expressão, entretando, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

0 0

Vamos então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, só analisar um pouco e vamos descobrir, calma que vai da certo!

Passo 2

Vamos tentar manipular o numerador, tirando o mínimo:

lim h → 0 ⁡ 1 x + h - 1 x h = lim h → 0 ⁡ x - x + h x x + h h = lim h → 0 ⁡ x - x - h x x + h h = lim h → 0 ⁡ - h x x + h h = lim h → 0 ⁡ - h x x + h ∙ 1 h = lim h → 0 ⁡ - 1 x x + h

Pronto, agora é simples, só substituir o valor 0 na expressão:

lim h → 0 ⁡ - 1 x x + h = - 1 x x + 0 = - 1 x 2

Resposta

lim h → 0 ⁡ 1 x + h - 1 x h = - 1 x 2

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