Em qual intervalo a função f(x) = tgx é contínua ?

Passo 1

Vendo a palavra continuidade e dando uma folheada no livro, achei uma parada massa que vai ser importante para a gente usar aqui. É um teorema que diz que uma função é continua em um ponto c quando

lim x → c ⁡   f x = f ( c )

Como a questão quer saber em quais intervalos a função é contínua, vamos considerar um ponto c qualquer e estipular condições para que funcione a igualdade, fechou? E assim, a gente vai tá determinando o intervalo.

Partxiu!

Queremos que

lim x → c ⁡   f x = f ( c )   ⟹     lim x  → c ⁡   f x =   t g   c  

Perceba que

l i m x → c   t g x = t g c = s e n   c cos  ⁡ c    

E como o nosso limite explodiria caso c = π 2 ,   c = 3 π 2 ,   ou seja, em valores em que o cosseno é nulo, e nesse caso não satisfaria a igualdade,

t g   c = f ( c )

Desde que c   ∈   ( n - 1 2 π ,   n + 1 2 π ) . Mais especificamente, se n variar nos inteiros.

Então, f é contínua, quando c ∈ ⋃ n ∈ I     ( n - 1 2 π ,   n + 1 2 π ) onde I é o conjunto de todos os inteiros.

Resposta

⋃ n ∈ I     ( n - 1 2 π ,   n + 1 2 π ) onde I é o conjunto de todos os inteiros

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