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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.3 - Ex. 4d

Calcule underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f (x))/(h) sendo f dada por

f (x) = - x^3 + 2 x

Passo 1

Para calcular esse limite vamos primeiro substituir a função f (x) = - x^3 + 2 x no limite:

underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f (x))/(h) = underset(h -> 0)(lim) (- (x + h)^3 + 2 (x + h) - (- x^3 + 2 x))/(h)

Podemos pensar em calcular esse limite apenas substituindo o valor 0 na expressão, entretando, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

(0)/(0)

Vamos então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, só analisar um pouco e vamos descobrir, calma que vai da certo!

Passo 2

Vamos tentar manipular o numerador, resolvendo a expressão elevada ao cubo, vamos lembrar que:

(a + b)^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3

Vamos aplicar então:

underset(h -> 0)(lim) (- (x + h)^3 + 2 (x + h) - (- x^3 + 2 x))/(h) = underset(h -> 0)(lim) (- (x^3 + 3 x^2 h + 3 x h^2 + h^3) + 2 x + 2 h + x^3 - 2 x)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (- x^3 - 3 x^2 h - 3 x h^2 - h^3 + 2 h + x^3)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (- 3 x^2 h - 3 x h^2 - h^3 + 2 h)/(h)

Agora podemos colocar o h em evidência e simplificar com o h do denominador, vamos lá:

underset(h -> 0)(lim) (- 3 x^2 h - 3 x h^2 - h^3 + 2 h)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (h (- 3 x^2 - 3 x h - h^2 + 2))/(h) = underset(h -> 0)(lim) - 3 x^2 - 3 x h - h^2 + 2

Passo 3

Pronto, agora é simples, só substituir o valor 0 na expressão:

underset(h -> 0)(lim) - 3 x^2 - 3 x h - h^2 + 2 = - 3 x^2 - 3 x * 0 - 0^2 + 2 = - 3 x^2 + 2

Resposta

underset(h -> 0)(lim) (- (x + h)^3 + 2 (x + h) - (- x^3 + 2 x))/(h) = - 3 x^2 + 2

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