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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 1g

D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o .

f (x) = cos x e x_0 = 0

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é achar as derivadas até a ordem 2 da função f (x) = cos x

f^' (x) = - sen x

f^(' ') (x) = - cos x

Passo 2

Agora, temos que achar as derivadas no ponto x_0 = 0 , além de f ( x_0 )

f (0) = cos 0

f (0) = 1

f^' (0) = - sen 0

f^' (0) = 0

f^(' ') (0) = - cos 0

f^(' ') (0) = - 1

Passo 3

Com tudo isso, basta substituir no polinômio de Taylor de ordem 2

f (x) = f (x_0) + f^' (x_0) (x - x_0) + (f^(' ') (x_0))/(2) (x - x_0)^2

f (x) = f (0) + f^' (0) (x - 0) + (f^(' ') (0))/(2) (x - 0)^2

f (x) = 1 + 0 (x - 0) - (1)/(2) (x - 0)^2

O polinômio vai ficar:

P_2 (x) = f (x) = 1 - (x ²)/(2)

Resposta

P_2 (x) = f (x) = 1 - (x ²)/(2)

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Determine o polinômio de Taylor, de ordem 2 , de f em volta de x 0 dado. f x = x 3 e x 0 = 1
22. Mostre que se 0 ≤ x ≤ 1 2 , s e nx = x - x 3 3 ! + R ( x ) onde R ( x )1 3.840
27. Use o método do exercício 26 para encontrar uma solução aproximada da equação c o t gx = m x quando m é positivo e próximo de zero.
Use o polinômio de Maclaurin para a função definida por f x = l n ⁡ ( 1 + x ) , para calcular o valor de ln ⁡ 1,2 com quatro casas decimais de precisão.
23. Use o valor do Exercício 22 para encontrar um valor aproximado de ∫ 0 1 / 2 s e nx 2d x e estime o erro.