D(e)ter(m)i(n)ar o polinômio de Taylor, de ordem 2, de f em volta de x0.

f(x) = cos(x) e x₀ = 0

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é achar as derivadas até a ordem 2 da função f (x) = cos x

f^' (x) = - sen x

f^(' ') (x) = - cos x

Passo 2

Agora, temos que achar as derivadas no ponto x_0 = 0 , além de f ( x_0 )

f (0) = cos 0

f (0) = 1

f^' (0) = - sen 0

f^' (0) = 0

f^(' ') (0) = - cos 0

f^(' ') (0) = - 1

Passo 3

Com tudo isso, basta substituir no polinômio de Taylor de ordem 2

f (x) = f (x_0) + f^' (x_0) (x - x_0) + (f^(' ') (x_0))/(2) (x - x_0)^2

f (x) = f (0) + f^' (0) (x - 0) + (f^(' ') (0))/(2) (x - 0)^2

f (x) = 1 + 0 (x - 0) - (1)/(2) (x - 0)^2

O polinômio vai ficar:

P_2 (x) = f (x) = 1 - (x ²)/(2)

Resposta

P_2 (x) = f (x) = 1 - (x ²)/(2)

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