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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.3 - Ex. 5o

Calcule.

underset(x -> p)(lim) (root(n)(x) - root(n)(p))/(x - p)

Passo 1

Para calcular esse limite vemos que apenas substituindo o valor p na expressão não é uma boa tentativa, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

(0)/(0)

É preciso então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, então vamo lá!!

Passo 2

Vamos fazer a seguinte substituição para facilitar o cálculo:

a = root(n)(p) e u = root(n)(x)

E vamos ter que u -> a quando x -> p , vamos modificar o limite então:

underset(x -> p)(lim) (root(n)(x) - root(n)(p))/(x - p) = underset(u -> a)(lim) (u - a)/(u^n - a^n)

Passo 3

No denominador temos um polinômio da seguinte forma u^n - a^n , então vamos destrinchar isso fatorando:

u^n - a^n = ( u^(n - 1) + u^(n - 2) * a^1 + u^(n - 3) * a^2 + * * * + u^1 * a^(n - 2) + a^(n - 1) ) ( u - a )

Substituindo no limite ficamos com:

underset(u -> a)(lim) (u - a)/(u^n - a^n) = underset(u -> a)(lim) (u - a)/(( u^(n - 1) + u^(n - 2) * a^1 + u^(n - 3) * a^2 + * * * + u^1 * a^(n - 2) + a^(n - 1) ) ( u - a ))

Podemos simplificar eliminando a expressão u - a que aparece tanto no numerador quanto no denominador, então vamos lá:

underset(u -> a)(lim) (u - a)/(( u^(n - 1) + u^(n - 2) * a^1 + u^(n - 3) * a^2 + * * * + u^1 * a^(n - 2) + a^(n - 1) ) ( u - a )) = underset(u -> a)(lim) (1)/(u^(n - 1) + u^(n - 2) * a^1 + u^(n - 3) * a^2 + * * * + u^1 * a^(n - 2) + a^(n - 1))

Passo 4

Agora é só substituir o valor a na expressão:

underset(u -> a)(lim) (1)/(u^(n - 1) + u^(n - 2) * a^1 + u^(n - 3) * a^2 + * * * + u^1 * a^(n - 2) + a^(n - 1)) = (1)/(a^(n - 1) + a^(n - 2) * a^1 + a^(n - 3) * a^2 + * * * + a^1 * a^(n - 2) + a^(n - 1)) = (1)/(a^(n - 1) + a^(n - 1) + a^(n - 1) + * * * + a^(n - 1) + a^(n - 1)) = (1)/(n * a^(n - 1))

Por último vamos substituir de volta a substituição que fizemos a = root(n)(p) :

underset(x -> p)(lim) (root(n)(x) - root(n)(p))/(x - p) = underset(u -> a)(lim) (1)/(u^(n - 1) + u^(n - 2) * a^1 + u^(n - 3) * a^2 + * * * + u^1 * a^(n - 2) + a^(n - 1)) = (1)/(n * a^(n - 1)) = (1)/(n * (root(n)(p))^(n - 1))

Resposta

underset(x -> p)(lim) (root(n)(x) - root(n)(p))/(x - p) = (1)/(n * (root(n)(p))^(n - 1))

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