Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.3 - Ex. 20

Calcule o limite, se ele existir.

underset(t -> 1)(lim) (t^4 - 1)/(t^3 - 1)

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Iremos analisar o seguinte limite:

underset(t -> 1)(lim) (t^4 - 1)/(t^3 - 1)

Veja que se substituirmos t = 1 , teremos uma indeterminação, sendo assim a simplificação se faz necessária.

Passo 2

Começaremos o exercício fatorando o numerador e reescrevendo o denominador com a ajuda da seguinte propriedade:

( a^3 - b^3 ) = ( a - b ) ( a^2 + 2 a b + b^2 )

Sendo assim, com a = t e b = 1 , podemos reescrever o limite como:

underset(t -> 1)(lim) (( t^2 - 1 ) ( t^2 + 1 ))/(( t - 1 ) ( t^2 + t + 1 ))

Passo 3

Agora iremos fatorar novamente o primeiro termo do numerador, com a propriedade:

( a^2 - b^2 ) = ( a - b ) ( a + b )

Aplicando:

underset(t -> 1)(lim) (( t - 1 ) ( t + 1 ) ( t^2 + 1 ))/(( t - 1 ) ( t^2 + t + 1 ))

Agora simplificando o termo ( t - 1 ) que aparece no numerador e no denominador, obtemos:

underset(t -> 1)(lim) (( t + 1 ) ( t^2 + 1 ))/(( t^2 + t + 1 ))

Passo 4

Agora iremos substituir os valores para t , obtendo:

((1 + 1) (1^2 + 1))/(1^2 + 1 - 1) = (4)/(3)

Resposta

underset(t -> 1)(lim) (t^4 - 1)/(t^3 - 1) = (4)/(3)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que: 1 1 ⋅ 3 + 1 3 ⋅ 5 + … + 1 2 n - 1 2 n + 1 = n 2 n + 1 Sugestão: 1 2 n - 1 2 n + 1 = 1 2 1 2 n - 1 - 1 2 n + 1 .Use o resultado de (a) para calcular: lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 1 2 k - 1 2 k + 1
Os gráficos de f e g são dados. Use-os para calcular cada limite. Caso não exista, explique o por quê. lim x → 2 ⁡ f x + g x lim x → 1 ⁡ f x + g x lim x → 0 ⁡ f x g x lim x → - 1 ⁡ f x g x lim x → 2 ⁡
Tomando por base o Exemplo 6, poderíamos conjecturar que a aproximação pelo ponto médio sempre fornece uma aproximação melhor do que as aproximações pelas extremidades. Discuta os méritos dessa conjec
Escrevendo por extenso as somas, determine se são válidas as seguintes identidades: ∫ ∑ i = 1 n f i x = ∑ i = 1 n ∫ f i x d d x ∑ i = 1 n f 1 x =∑ i = 1 n d d x f i x
Prove a parte ( c ) do Teorema 5.4 . 1 .