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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.3 - Ex. 20

Calcule o limite, se ele existir.

underset(t -> 1)(lim) (t^4 - 1)/(t^3 - 1)

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Iremos analisar o seguinte limite:

underset(t -> 1)(lim) (t^4 - 1)/(t^3 - 1)

Veja que se substituirmos t = 1 , teremos uma indeterminação, sendo assim a simplificação se faz necessária.

Passo 2

Começaremos o exercício fatorando o numerador e reescrevendo o denominador com a ajuda da seguinte propriedade:

( a^3 - b^3 ) = ( a - b ) ( a^2 + 2 a b + b^2 )

Sendo assim, com a = t e b = 1 , podemos reescrever o limite como:

underset(t -> 1)(lim) (( t^2 - 1 ) ( t^2 + 1 ))/(( t - 1 ) ( t^2 + t + 1 ))

Passo 3

Agora iremos fatorar novamente o primeiro termo do numerador, com a propriedade:

( a^2 - b^2 ) = ( a - b ) ( a + b )

Aplicando:

underset(t -> 1)(lim) (( t - 1 ) ( t + 1 ) ( t^2 + 1 ))/(( t - 1 ) ( t^2 + t + 1 ))

Agora simplificando o termo ( t - 1 ) que aparece no numerador e no denominador, obtemos:

underset(t -> 1)(lim) (( t + 1 ) ( t^2 + 1 ))/(( t^2 + t + 1 ))

Passo 4

Agora iremos substituir os valores para t , obtendo:

((1 + 1) (1^2 + 1))/(1^2 + 1 - 1) = (4)/(3)

Resposta

underset(t -> 1)(lim) (t^4 - 1)/(t^3 - 1) = (4)/(3)

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