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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 65

Escrevendo por extenso as somas, determine se são válidas as seguintes identidades:

  1. ∫ ∑ i = 1 n f i x = ∑ i = 1 n ∫ f i x
  2. d d x ∑ i = 1 n f 1 x =   ∑ i = 1 n d d x f i x

Passo 1

Falaa aí, tudo bem?

Vamos expandir esses somatórios dos dois lados pra ver se isso é verdadeiro ou não...

  1. Olha só, fica assim:

    2. ∫ f 1 x + f 2 x + … + f n x = ∫ f 1 x + ∫ f 2 x + … + ∫ f n x

    A gente pode separar essas integrais aí de boa:

    ∫ f 1 x + ∫ f 2 x + … + ∫ f n x =   ∫ f 1 x + ∫ f 2 x + … + ∫ f n x

    Show de bola! Deu igualzinho, então a igualdade é válida!

    Passo 2

  2. Bora fazer a mesma coisa nessa outra aqui:

d d x f 1 x + f 2 x + … + f n x = d d x f 1 x + d d x f 2 x + … + d d x f n x

Isso aí também é válido né? A gente pode separar as derivadas sem problemas!

Então, igualdade válida😉

Resposta

  1. Válida.
  2. Válida.
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Calcule o limite, se ele existir.
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Calcule o limite, se ele existir.
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Calcule o limite e justifique cada passo indicando as regras do limite utilizadas.