Calcule o limite, se ele existir.

lim h → 0 ⁡ - 5 + h 2 - 25 h

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite:

lim h → 0 ⁡ - 5 + h 2 - 25 h

Observe que nós temos h tendendo a 0 e queremos saber pra qual valor a função f h = - 5 + h 2 - 25 h vai se aproximar quando isso acontece.

Se a gente simplesmente substituir h = 0 na função, vamos ter:

- 5 + 0 2 - 25 0 = 0 0

Ou seja, teremos uma indeterminação.

Então, o que nós precisamos fazer é encontrar uma forma de simplificar essa função pra que a gente consiga aplicar o limite sem cair em uma indeterminação.

Como temos um produto notável no numerador, do tipo:

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2

Começaremos expandindo esse produto para conseguir visualizar uma forma de simplificar essa fração e aplicarmos o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos expandir o produto notável presente no numerador.

lim h → 0 ⁡ - 5 + h 2 - 25 h

Com isso, podemos reescrever o limite como:

lim h → 0 ⁡ 25 - 10 h + h 2 - 25 h

Subtraindo a constante 25 que aparece duas vezes e com sinal trocado no numerador, ficamos com:

lim h → 0 ⁡ - 10 h + h 2 h

Passo 3

Com isso, podemos fatorar o termo do numerador, colocando h em evidência:

lim h → 0 ⁡ h ( - 10 + h ) h

Simplificando o termo h que aparece no numerador e no denominador, obtemos:

lim h → 0 ⁡ - 10 + h

Agora podemos aplicar o limite, obtendo:

- 10 + 0

= - 10

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim h → 0 ⁡ - 5 + h 2 - 25 h = - 10

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