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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 61

  1. Mostre que:

    2. 1 1 ⋅ 3 + 1 3 ⋅ 5 + … + 1 2 n - 1 2 n + 1 = n 2 n + 1

    Sugestão: 1 2 n - 1 2 n + 1 = 1 2 1 2 n - 1 - 1 2 n + 1 .

  2. Use o resultado de (a) para calcular:

lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 1 2 k - 1 2 k + 1

Passo 1

E aí, tudo joia? A gente vai ter que mostrar isso aí.

Não deram essa sugestão a toa né, então vamos dar um jeitinho de usar...

Repare no seguinte, se a gente colocar essa soma usando a função da sugestão, fica assim:

1 2 1 2 - 1 - 1 2 + 1 + 1 2 1 4 - 1 - 1 4 + 1 + … + 1 2 1 2 n - 1 - 1 2 n + 1

= 1 2 1 1 - 1 3 + 1 2 1 3 - 1 5 + … + 1 2 1 2 n - 1 - 1 2 n + 1

Se liga só: um termo anula o outro nessa soma, é aquela soma telescópica que a gente viu nesse capítulo! Ou seja, vai sobrar só o primeiro e o último termo dessa soma. Isso aqui ó:

= 1 2 1 1 + 1 2 - 1 2 n + 1

Passo 2

Vamos dar uma desenvolvida nisso agora pra ficar mais bonitinho:

1 2 - 1 2 2 n + 1

= 2 n + 1 - 1 2 2 n + 1

= 2 n 2 2 n + 1

= n 2 n + 1

Maravilha! Mostramos que a soma então é o que a questão queria😉

Passo 3

b) Bom, a gente no item (a) calculou a soma dessa relação só que com n certo? Então o somatório já tá calculado...

∑ k = 1 n 1 2 k - 1 2 k + 1 =   n 2 n + 1

Concorda? Então é só a gente calcular o limite dessa última função aí agora:

lim n → ∞ ⁡ n 2 n + 1 =   lim n → ∞ ⁡ n 2 n = 1 2

E prontinho! Terminamos por aqui😚

Resposta

  1. Demonstração.
  2. 1 2 .
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Para o limite lim x → 0 ⁡ cot 2 ⁡ ( x ) = ∞ Ilustre a definição encontrando os valores de δ que correspondam a aM = 100 e bM = 1000 .
Calcule o limite, se ele existir.
Calcule o limite, se ele existir.
Calcule o limite e justifique cada passo indicando as regras do limite utilizadas.
Calcule o limite, se ele existir.