19. Calcule o limite, se existir.

lim x → 3 ⁡ x - 3 x 3 - 27

Passo 1

Olá, meu querido. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Veja que se a gente for calcular esse limite de forma direta, vemos que apenas substituindo o valor - 2 na expressão não é uma boa tentativa, ao fazer isso, ficamos com

lim x → 3 ⁡ x - 3 x 3 - 27 = 3 - 3 3 3 - 27 = 0 0

Calma lá meu patrão porque isso ai é uma inderteminação, e pra gente poder tirar essa inderteminação de forma sagaz, podemos fatorar nossos polinômios! Bora lá então.

Passo 2

Se liga só, no denominador temos um polinômio do terceiro grau, da seguinte forma a 3 - b ³ , então aqui iremos utilizar essa fatoração que é tabelada e dada por:

a 3 - b 3 = ( a 2 + a . b + b 2 ) ( a - b )

Nosso polinômio é:

x 3 - 27 = x 3 - 3 ³

Assim temos que a = x e b = 3 :

x 3 - 3 3 = x 2 + x . 3 + 3 2 x - 3 = ( x 2 + 3 x + 9 ) ( x - 3 )

E nosso limite então fica assim:

lim x → 3 ⁡ x - 3 ( x 2 + 3 x + 9 ) ( x - 3 )

Ta começando a ficar bonito heim!

Passo 3

Agora temos o limite da seguinte forma:

lim x → 3 ⁡ x - 3 x 3 - 27 = lim x → 3 ⁡ x - 3 ( x 2 + 3 x + 9 ) ( x - 3 )

E agora que juntamos as 6 jóias da inderteminação, podemos eliminar 50% dessa equação, cortando em cima e embaixo. Saca só:

lim x → 3 ⁡ ( x - 3 ) ( x 2 + 3 x + 9 ) ( x - 3 )

lim x → 3 ⁡ 1 ( x 2 + 3 x + 9 )

Passo 4

Agora que ficou uma maravilha, é só a gente substituir o valor no limite que tá show de bolinhas:

lim x → 3 ⁡ 1 ( x 2 + 3 x + 9 ) = 1 ( 3 2 + 3 ( 3 ) + 9 ) = 1 27

Agora sim a gente pode falar que ficou irado!!

Resposta

lim x → 3 ⁡ x - 3 x 3 - 27 = 1 27

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