Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.4 - Ex. 24
Demonstre cada afirmação usando a definição , de limite.
Passo 1
Falaaa... tudo bem??
Nessa questão vamos demonstrar que:
Usando a definição formal de limite, que envolve e .
Essa definição nos diz que:
Se para todo número houver um número tal que se:
Então:
Primeira coisa que fazemos é achar um valor para apenas manipulando a inequação que tem o e depois comparando a inequação que tem o .
Depois mostramos que esse funciona.
Passo 2
- Achando um valor para
Na nossa questão:
Então queremos achar um número tal que se
Então:
Como o módulo de zero é zero:
Pooo... mas não tem e nem . Como que vamos comparar com a outra inequação? Repara que chegamos na própria definição que é de , então podemos escolher qualquer maior que zero, que vai ser sempre verdade.
Escolhendo, de forma simbólica:
Passo 3
- Mostrando que esse valor de funciona:
Com a escolha de:
Queremos garantir que implica em .
A diferença entre e é zero, né? Isso porque é uma constante, então não importa qual valor de estamos usando, a função sempre retorna
Como a diferença entre e é zero, então:
O que certamente é menor que qualquer
Então, escolhendo , garantimos que implica , como queríamos.
Portanto:
Resposta
Demonstração.