Calcule o limite, se ele existir.

underset(u -> 2)(lim) (sqrt(4 u + 1) - 3)/(u - 2)

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Iremos analisar o seguinte limite:

underset(u -> 2)(lim) ��� (sqrt(4 u + 1) - 3)/(u - 2)

Não podemos de cara substituir u = 2 . Pois teremos uma divisão por zero. Precisaremos então encontrar uma forma de ‘sumir’ com essa determinação.

Passo 2

Começaremos o exercício multiplicando o limite pelo “conjugado” do numerador, dessa forma obtemos:

underset(u -> 2)(lim) (sqrt(4 u + 1) - 3)/(u - 2) . (sqrt(4 u + 1) + 3)/(sqrt(4 u + 1) + 3) = underset(u -> 2)(lim) ((sqrt(4 u + 1))^2 - 3^2)/(( u - 2 ) (sqrt(4 u + 1) + 3))

Retirando o termo de dentro da raiz e simplificando, obtemos:

underset(u -> 2)(lim) (4 u - 8)/(( u - 2 ) ( sqrt(4 u + 1) + 3 ))

Agora, colocando o 4 em evidência no numerador:

underset(u -> 2)(lim) (4 ( u - 2 ))/(( u - 2 ) ( sqrt(4 u + 1) + 3 ))

Agora simplificando o termo ( u - 2 ) que aparece no numerador e no denominador, obtemos:

underset(u -> 2)(lim) (4)/(sqrt(4 u + 1) + 3)

Passo 3

Agora iremos substituir os valores para u , obtendo:

(4)/(sqrt(4 (2) + 1) + 3) = (2)/(3)

Resposta

underset(u -> 2)(lim) (sqrt(4 u + 1) - 3)/(u - 2) = (2)/(3)

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