Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.4 - Ex. 11
Foi pedido a um torneiro mecânico é que fabricasse um disco de metal circular com área de cm².
- Qual o raio do disco produzido?
- Se for permitido ao torneiro uma tolerância do erro de cm² na área do disco, quão próximo do raio ideal da parte (a) o torneiro precisa controlar o raio?
- Em termos da definição de , de , oque é ? O que é ? O que é ? O que é ? Qual o valor de dado? Qual o valor correspondente de ?
Passo 1
Olá, caro colega. Pronto para mais uma atividade?
Aqui a gente vai utilizar da definição de limites para resolvermos essa atividade.
Mas por que isso? Veja bem, temos aqui uma atividade em que temos uma tolerância, temos que estar dentro de um limite aceitável para que a nossa peça, nesse caso a área do disco, seja aceita.
Então a questão quer saber qual o limite para que se tenha essa tolerância:
Para que a gente consiga resolver essa atividade, deveremos relembrar a definição precisa de limite, e compará-la com a nossa situação.
Seja uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número , exceto possivelmente no própria . Então dizemos que o limite de quando tende a é , e escrevemos.
Se para todo número haver um número tal que
Se
Então
Passo 2
- Primeiro a gente vai calcular o raio.
- Aqui a gente precisa analisar melhor. A gente tem uma tolerância na área do disco de cm. Isso significa que a área do disco pode ser cm ou cm menor que .
- Veja o que a gente fez:
Temos que a área é e que cm², então a gente pode substituir:
Temos então uma forma de representar isso:
Utilizando as propriedades do modulo, o que implica em:
Substituindo :
Somando em todos os termos:
Deixando o em evidência:
Realizando os cálculos das raízes:
Assim, temos que a diferença entre o raio ideal e o raio que torneiro pode controlar é:
E
O número pelo qual podemos deixar variar de modo a não ultrapassar ou ficar abaixo de cm² seria aproximadamente cm.
Passo 3
Agora compare com:
é o raio, é a área pois aqui temos a variável e temos a função que contêm a nossa variável.
é o raio a querer dado na letra (a), que vem da diferença entre o raio ideal do raio com a tolerância pretendida.
é a área a querer dada ()
é a tolerância na área ()
e é a tolerância do raio dado na letra (b), .
Resposta
(a)
(b) Tão próximo quanto cm
(c) é o raio, é a área, é o raio a querer dado na letra (a), é a área a querer dada (), é a tolerância na área (), e é a tolerância do raio dado na letra (b)