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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 1

Encontre o volume do sólido obtido girando a região delimitada pelas curvas dadas sobre a linha especificada. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típico.

y = x + 1 ,   y = 0 , x = 0 , x = 2 ;     s o b r e   o   e i x o   x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar o volume do sólido obtido girando a região delimitada pela seguinte curva:

y = x + 1

E delimitada sobre as seguintes linhas sobre o eixo x :

y = 0 , x = 0 , x = 2

Para isso, utilizaremos o conceito de Volume de Sólidos de revolução e as técnicas de integração para calcular o valor desse volume.

Lembrando que seja S um sólido que está entre x = a e x = b . Se a área da secção transversal de S no plano P x , passando por x e perpendicular ap eixo x , é A x , onde A é uma fun��ão contínua, então o volume S é dado por:

V = ∫ a b A x d x

Após encontrar o volume, iremos esboçar graficamente o sólido e a região.

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Dadas a equações mencionadas no enunciado temos a seguinte região que será girada em torno do eixo x é a seguinte:

Perceba na figura que a nossa integral terá limites 0 e 2 .

Passo 3

Dessa forma nossa área do disco terá como raio x + 1 e será dada por

A x = π ⋅ x + 1 2 = π ⋅ x 2 + 2 x + 1

Então, nosso volume será dado por

V x = ∫ 0 2 A x d x ∴

V x = ∫ 0 2 π ⋅ ( x 2 + 2 x + 1 )   d x

V x = π ⋅ x 3 3 + x 2 + x 0 2 ∴

V x = 26 π 3

Passo 4

Esboçando o sólido e arruela típico resultantes ao rotacionar a figura em torno do eixo x , temos:

Resposta

26 π 3

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