Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → ∞ ⁡ e x x 3

Passo 1

Vamos verificar se há a existência de uma indeterminação:

lim x → ∞ ⁡ e x x 3 → ∞ ∞

Temos a indeterminação da forma ∞ ∞ , vamos então aplicar a Regra de L'Hôspital.

Passo 2

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:

lim x → ∞ ⁡ e x x 3 = lim x → ∞ ⁡ e x 3 x 3 - 1 = lim x → ∞ ⁡ e x 3 x 2 → ∞ ∞

Vamos usar L'Hôspital novamente:

lim x → ∞ ⁡ e x 3 x 2 = lim x → ∞ ⁡ e x 3 . 2 . x 2 - 1 = lim x → ∞ ⁡ e x 6 x → ∞ ∞

Ainda não foi, vamos usar mais uma vez, calma que uma hora acaba:

lim x → ∞ ⁡ e x 6 x = lim x → ∞ ⁡ e x 6 x 1 - 1 = lim x → ∞ ⁡ e x 6 = ∞

Resposta

lim x → ∞ ⁡ e x x 3 = ∞

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