Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.4 - Ex. 12
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Falaii galerinha do Responde ai, tudo belezinha?
A questão pede para encontrar o limite da expressão
Além disso, menciona que devemos usar a Regra de L'Hôpital se for apropriado.
Se existir um método mais elementar, devemos usá-lo.
E, se a Regra de L'Hôpital não for aplicável, precisamos explicar por quê.
Para resolver limites de funções trigonométricas, podemos usar algumas identidades trigonométricas básicas e propriedades dos limites.
Se encontrarmos uma forma indeterminada do tipo ou , a Regra de L'Hôpital pode ser aplicada.
A Regra de L'Hôpital nos diz que se
Então podemos substituir este limite pelo limite das derivadas das funções:
Se esse limite existir.
Para funções trigonométricas, também é útil lembrar que:
E que
O que pode ser útil para simplificar expressões.
Passo 2
Vamos analisar o limite dado:
Substituindo por diretamente, obtemos:
Temos uma forma indeterminada do tipo , então podemos usar a Regra de L'Hôpital.
Passo 3
Usando a Regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
1. A derivada de
2. A derivada de
Onde
Então, o limite pode ser reescrito como:
Agora, substituímos por
E assim, encontramos o limite usando a Regra de L'Hôpital e a substituição direta.
“O coelho está certo, e ele é claramente o mais inteligente entre vocês!”
