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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.2 - Ex. 06

Calcule o limite, se ele existir

underset(x -> 1 // 2^+)(lim) (2 x - 1) t g ( pi x )

Passo 1

Esse limite parece até ser dificil, mas como diria Jack Estripador, vamos por partes. Sempre que formos calcular um limite nesse formato olhamos para cada parcela do produto para ver se ele se encaixa em um dos formatos para aplicar a regra de L’Hôpital:

underset(x -> 1 // 2^+)(l i m) (2 x - 1) = 0 ; underset(x -> 1 // 2^+)(l i m) t g pi x = - oo

Então o primeiro passo é mexer nesse limite até virar algo que se possa aplicar a regra de L’Hôpital:

underset(x -> 1 // 2^+)(lim) (2 x - 1) t g (pi x) = underset(x -> 1 // 2^+)(lim) ((2 x - 1) s e n (pi x))/(c o s ( pi x ))

Agora observamos a parte de cima e a de baixo:

underset(x -> 1 // 2^+)(lim) (2 x - 1) s e n (pi x) = 0 ; underset(x -> 1 // 2^+)(l i m) c o s (pi x) = 0

Logo está em um formato válido para aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Aplicamos a regra de L’Hôpital:

underset(x -> (1)/(2)^+)(lim) ((2 x - 1) s e n (pi x))/(c o s (pi x)) = underset(x -> (1)/(2)^+)(lim) (2 s e n (pi x) + (2 x - 1) c o s (pi x) pi)/(- s e n (pi x) pi)

= underset(x -> 1 // 2^+)(lim) ((2 x - 1) s e n (pi x))/(c o s ( pi x )) = ((2 // 2 - 1) s e n (pi // 2))/(c o s ( pi // 2 )) = 0

Resposta

underset(x -> 1 // 2^+)(lim) (2 x - 1) t g ( pi x ) = 0

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Calculef) underset(x - 0^+)(lim) sen x ln x
Calculea) underset(x - 1^-)(lim) (x^4 - 2 x^3 + 2 x - 1)/(x^2 - 2 x + 1)
Calculec) l i m_x - 0^+ x e^((1)/(x))
Calculeg) underset(x - 0^+)(lim) (1 - cos x) ln x
Calculeb) underset(x - 0^+)(lim) (x^2 + t g^3 x)/(s e n^3 x)