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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 1g

Calcule

g) underset(x -> 0^+)(lim) (1 - cos x) ln x

Passo 1

Perceba que quando tentamos substituir x = 0^+ no limite, chegamos a uma indeterminação do tipo “ 0 * (- oo) ” :

underset(x -> 0^+)(lim) (1 - cos x) ln x -> (1 - 1) (- oo) -> 0 * (- oo)

Passo 2

Vamos multiplicar numerador e denominador por 1 + cos x , sem alterar o limite:

underset(x -> 0^+)(lim) (1 - cos x) ln x = underset(x -> 0^+)(lim) ((1 - cos^2 x) ln x)/(1 + cos x) = underset(x -> 0^+)(lim) (sen^2 x ln x)/(1 + cos x) = (underset(x -> 0^+)(lim) (sen^2 x ln x))/(underset(x -> 0^+)(lim) ( 1 + cos x ))

Perceba que underset(x -> 0^+)(lim) ( 1 + cos x ) = 2 , mas underset(x -> 0^+)(lim) (sen^2 x ln x) tem uma indeterminação do tipo “ 0 * (- oo) “.

Passo 3

Agora, vamos tentar acabar com a indeterminação aplicando L’Hospital:

underset(x -> 0^+)(lim) sen^2 x ln x = underset(x -> 0^+)(lim) (ln x)/((1)/(sen^2 x)) = underset(x -> 0^+)(lim) ((ln x)^')/(((1)/(sen^2 x))^') = underset(x -> 0^+)(lim) ((1)/(x))/(((- 2 sen x cos x)/(sen^4 x))) = underset(x -> 0^+)(lim) - (sen^3 x)/(2 x cos x)

Repare que substituindo x = 0^+ , ainda há indeterminação:

underset(x -> 0^+)(lim) - (sen^3 x)/(2 x cos x) -> - (0^3)/(2 * 0 * 1) -> (0)/(0)

Passo 4

Assim, para terminar de resolver o limite, vamos multiplicar numerador e denominador por x^2 , o que não altera o seu valor:

underset(x -> 0^+)(lim) - (sen^3 x)/(2 x cos x) = underset(x -> 0^+)(lim) - (x^2 sen^3 x)/(2 x^3 cos x) = underset(x -> 0^+)(lim) (- (x^2)/(2 cos x)) ((sen x)/(x))^3

Veja que podemos fazer aparecer o limite fundamental, assim:

underset(x -> 0^+)(lim) (- (x^2)/(2 cos x)) ((sen x)/(x))^3 = (underset(x -> 0^+)(lim) - (x^2)/(2 cos x)) (underset(x -> 0^+)(lim) (sen x)/(x))^3

Lembre-se do valor do limite fundamental, underset(x -> 0^+)(lim) (sen x)/(x) = 1 , para obter:

underset(x -> 0^+)(lim) sen^2 x ln x = underset(x -> 0^+)(lim) - (x^2)/(2 cos x) = - (0^2)/(2 * 1) = 0

Logo,

underset(x -> 0^+)(lim) (1 - cos x) ln x = (underset(x -> 0^+)(lim) (sen^2 x ln x))/(underset(x -> 0^+)(lim) ( 1 + cos x )) = (0)/(2) = 0

Resposta

underset(x -> 0^+)(lim) (1 - cos x) ln x = 0

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Calcule o limite dado sem usar a regra de L’Hospital e depois use-a para conferir sua resposta. a lim x → 2⁡ x 2 - 4 x 2 + 2 x - 8
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (x e^x)/(1 - e^x)
Encontre o limite. lim x → ∞ ⁡ e 3 x x 2
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2
Encontre o limite.underset(x - 0^+)(lim) (c o t g x)/(ln x)