Calcule

c) l i m_x -> 0^+ x e^((1)/(x))

Passo 1

Nosso objetivo é calcular

l i m_x -> 0^+ x e^((1)/(x))

Vamos nessa!

Passo 2

Perceba que quando tentamos substituir x = 0^+ no limite, chegamos a uma indeterminação do tipo “ 0 * oo ” :

l i m_x -> 0^+ x e^((1)/(x))

= 0 * e^((1)/(0))

= 0 * oo

Passo 3

Então, para resolver o limite, vamos aplicar a Regra de L’Hospital, assim:

l i m_x -> 0^+ x e^((1)/(x)) x e^((1)/(x)) = l i m_x -> 0^+ x e^((1)/(x)) (e^((1)/(x)))/((1)/(x))

= l i m_x -> 0^+ x e^((1)/(x)) ((e^((1)/(x)))^')/(((1)/(x))^')

= l i m_x -> 0^+ e^((1)/(x))

Repare que substituindo x = 0^+ , não há mais indeterminação:

l i m_x -> 0^+ e^((1)/(x)) = + oo

Logo,

l i m_x -> 0^+ x e^((1)/(x)) = + oo

Resposta

l i m_x -> 0^+ x e^((1)/(x)) = + oo

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