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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 3a

Calcule

a) underset(x -> 1^-)(lim) (x^4 - 2 x^3 + 2 x - 1)/(x^2 - 2 x + 1)

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Perceba que quando tentamos substituir x = 1 no limite, chegamos a uma indeterminação do tipo “ 0 // 0 ” :

underset(x -> 1^-)(lim) (x^4 - 2 x^3 + 2 x - 1)/(x^2 - 2 x + 1) = ((1)^4 - 2 (1)^3 + 2 (1) - 1)/((1)^2 - 2 (1) + 1) = (0)/(0)

Então, para resolver o limite, vamos aplicar a Regra de L’Hospital!

Passo 2

Na Regra de L’Hospital, nós devemos derivar numerador e denominador:

underset(x -> 1^-)(lim) (x^4 - 2 x^3 + 2 x - 1)/(x^2 - 2 x + 1) = underset(x -> 1^-)(lim) ((x^4 - 2 x^3 + 2 x - 1) ')/((x^2 - 2 x + 1) ')

Derivando ficamos com,

underset(x -> 1^-)(lim) (x^4 - 2 x^3 + 2 x - 1)/(x^2 - 2 x + 1) = underset(x -> 1^-)(lim) (4 x^3 - 6 x^2 + 2 + 0)/(2 x - 2 + 0)

Aplicando o limite, chegamos na mesma inderminação,

underset(x -> 1^-)(lim) (4 x^3 - 6 x^2 + 2)/(2 x - 2) = (0)/(0)

Então vamos aplicar de L’Hospital de novo!

Passo 3

Derivando de novo, ficamos com

underset(x -> 1^-)(lim) ((4 x^3 - 6 x^2 + 2) ')/((2 x - 2) ') = underset(x -> 1^-)(lim) (2 x^3 - 3 x^2 + 1)/(x - 1)

Aplicando o limite,

underset(x -> 1^-)(lim) (2 x^3 - 3 x^2 + 1)/(x - 1) = underset(x -> 1^-)(lim) (6 x^2 - 6 x + 0)/(1 + 0) = (6 - 6)/(1) = 0

Logo,

underset(x -> 1^-)(lim) (x^4 - 2 x^3 + 2 x - 1)/(x^2 - 2 x + 1) = 0

Resposta

underset(x -> 1^-)(lim) (x^4 - 2 x^3 + 2 x - 1)/(x^2 - 2 x + 1) = 0

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Verifique que a regra de L’Hôpital não ajuda a encontrar o limite; se ele existir, encontre-o com algum outro método.61. lim x → + ∞ ⁡ x 2 + sin ⁡ 2 x x + 1
Verifique que a regra de L’Hôpital não ajuda a encontrar o limite; se ele existir, encontre-o com algum outro método.62. lim x → + ∞ ⁡ x 2 + sin ⁡ x x 2 + 1
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.Se n for escolhido suficientemte grande, então lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x n x = ∞
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.A regra de L’Hospital não é aplicável a lim x → - ∞ ⁡ ln ⁡ x x
Calcule o limite dado sem usar a regra de L’Hospital e depois use-a para conferir sua resposta. a lim x →0 ⁡ s e n x t g x