Calcule

a) lim x → 1 - ⁡ x 4 - 2 x 3 + 2 x - 1 x 2 - 2 x + 1

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Perceba que quando tentamos substituir x = 1 no limite, chegamos a uma indeterminação do tipo “ 0 / 0 ” :

lim x → 1 - ⁡ x 4 - 2 x 3 + 2 x - 1 x 2 - 2 x + 1 = 1 4 - 2 1 3 + 2 1 - 1 1 2 - 2 1 + 1 = 0 0

Então, para resolver o limite, vamos aplicar a Regra de L’Hospital!

Passo 2

Na Regra de L’Hospital, nós devemos derivar numerador e denominador:

lim x → 1 - ⁡ x 4 - 2 x 3 + 2 x - 1 x 2 - 2 x + 1 = lim x → 1 - ⁡ x 4 - 2 x 3 + 2 x - 1 ' x 2 - 2 x + 1 '

Derivando ficamos com,

lim x → 1 - ⁡ x 4 - 2 x 3 + 2 x - 1 x 2 - 2 x + 1 = lim x → 1 - ⁡ 4 x 3 - 6 x 2 + 2 + 0 2 x - 2 + 0

Aplicando o limite, chegamos na mesma inderminação,

lim x → 1 - ⁡ 4 x 3 - 6 x 2 + 2 2 x - 2 = 0 0

Então vamos aplicar de L’Hospital de novo!

Passo 3

Derivando de novo, ficamos com

lim x → 1 - ⁡ 4 x 3 - 6 x 2 + 2 ' 2 x - 2 ' = lim x → 1 - ⁡ 2 x 3 - 3 x 2 + 1 x - 1

Aplicando o limite,

lim x → 1 - ⁡ 2 x 3 - 3 x 2 + 1 x - 1 = lim x → 1 - ⁡ 6 x 2 - 6 x + 0 1 + 0 = 6 - 6 1 = 0

Logo,

lim x → 1 - ⁡ x 4 - 2 x 3 + 2 x - 1 x 2 - 2 x + 1 = 0

Resposta

lim x → 1 - ⁡ x 4 - 2 x 3 + 2 x - 1 x 2 - 2 x + 1 = 0

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