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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 3b

Calcule

b) underset(x -> 0^+)(lim) (x^2 + t g^3 x)/(s e n^3 x)

Passo 1

Note que o limite tem uma indeterminação do tipo “ (0)/(0) “, então vamos aplicar L’Hospital:

underset(x -> 0^+)(lim) (x^2 + t g^3 x)/(s e n^3 x) = underset(x -> 0^+)(lim) (2 x + 3 t g^2 x (1 + t g^2 x))/(3 s e n^2 x cos x) -> (2 (0) + 3 (0)^2 (1 + 0))/(3 (0)^2 ( 1 )) -> (0)/(0)

Passo 2

Como a indeterminação persistiu, aplicamos L’Hospital novamente:

underset(x -> 0^+)(lim) (2 x + 3 t g^2 x + 3 t g^4 x)/(3 s e n^2 x cos x) = underset(x -> 0^+)(lim) (2 + 6 t g x sec^2 x + 12 t g^3 x sec^2 x)/(6 s e n x cos x - 3 s e n^3 x)

Agora não há mais indeterminação:

underset(x -> 0^+)(lim) (2 + 6 t g x sec^2 x + 12 t g^3 x sec^2 x)/(6 s e n x cos x - 3 s e n^3 x) -> (2 + 6 (0) (1)^2 + 12 (0)^3 (1)^2)/(6 (0) (1) - 3 (0)^3) -> (2)/(0) -> + oo

Logo,

underset(x -> 0^+)(lim) (x^2 + t g^3 x)/(s e n^3 x) = + oo

Resposta

underset(x -> 0^+)(lim) (x^2 + t g^3 x)/(s e n^3 x) = + oo

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Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ e x - 1 s e nx
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ s e n2 x s e n5 x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ 1 - ln ⁡ x e 1 x
Calcule o limite dado sem usar a regra de L’Hospital e depois use-a para conferir sua resposta. a lim x → 1⁡ x 2 - 1 x 3 - 1
Encontre o limite. lim x → + ∞ ⁡ x 100 e x