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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.1 - Ex. 25

Calcule o limite, se ele existir. underset(x -> 0)(lim) ((1 + x)^((1)/(5)) - (1 - x)^((1)/(5)))/((1 + x)^((1)/(3)) - (1 - x)^((1)/(3))) .

Passo 1

Note que, de primeira vista tando a parte o numerador quanto o denominador, se aplicarmos o limite, vai dar zero, ou seja, uma indeterminação. Neste caso ela cai em uma das indeterminações que podem ser aplicadas L’Hopital.

Passo 2

Com isso, por L’Hopital temos:

underset(x -> 0)(lim) ((1 + x)^((1)/(5)) - (1 - x)^((1)/(5)))/((1 + x)^((1)/(3)) - (1 - x)^((1)/(3))) = underset(x -> 0)(lim) ((1)/(5) (1 + x)^(- (4)/(5)) + (1)/(5) (1 - x)^(- (4)/(5)))/((1)/(3) (1 + x)^(- (2)/(3)) + (1)/(3) (1 - x)^(- (2)/(3)))

Desse modo a aplicação do limite é direta.

= ((1)/(5) + (1)/(5))/((1)/(3) + (1)/(3)) = (3)/(5)

Resposta

(3)/(5)

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