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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 8

Calcule a integral indefinida.

int (sqrt(x + 1) + 1)/(sqrt(x + 1) - 1) d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral. Para simplificar bastante a integral, devemos eliminar a raiz do denominador, então vamos multiplicar o integrando, no numerador e no denominador, por sqrt(x + 1) + 1 :

(sqrt(x + 1) + 1)/(sqrt(x + 1) - 1) = (sqrt(x + 1) + 1)/(sqrt(x + 1) - 1) * (sqrt(x + 1) + 1)/(sqrt(x + 1) + 1) = ((sqrt(x + 1) + 1)^2)/(x + 1 - 1)

Assim,

(sqrt(x + 1) + 1)/(sqrt(x + 1) - 1) = (x + 1 + 2 sqrt(x + 1) + 1)/(x) = (x + 2 + 2 sqrt(x + 1))/(x)

Desta forma,

I = int (sqrt(x + 1) + 1)/(sqrt(x + 1) - 1) d x = int (1 + (2)/(x) + 2 (sqrt(x + 1))/(x)) d x

Logo,

I = x + 2 ln |x| + 2 int (sqrt(x + 1))/(x) d x

Podemos escrever

I = x + 2 ln |x| + I_1 , o n d e I_1 = 2 int (sqrt(x + 1))/(x) d x

Passo 2

Para calcular I_1 , vamos fazer a substituição t = sqrt(x + 1) . Assim, x = t^2 - 1 e

d x = 2 t d t

Portanto

I_1 = 2 int (t)/(t^2 - 1) 2 t d t = 4 int (t^2)/(t^2 - 1) d t

Mas note que t^2 = t^2 - 1 + 1 , de modo que

(t^2)/(t^2 - 1) = (t^2 - 1 + 1)/(t^2 - 1) = 1 - (1)/(t^2 - 1) = 1 - (1)/(( t + 1 ) ( t - 1 ))

Usando a técnica das frações parciais:

(1)/(( t + 1 ) ( t - 1 )) = (A)/(t - 1) + (B)/(t + 1) = (A t + A + B t - B)/(( t + 1 ) ( t - 1 ))

Assim, A + B = 0 => A = - B e A - B = 1 => 2 A = 1 . Logo

A = - B = (1)/(2)

Portanto,

(t^2)/(t^2 - 1) = 1 - (1)/(2) * (1)/(t - 1) + (1)/(2) * (1)/(t + 1)

Logo,

I_1 = int (1 - (1)/(2) * (1)/(t - 1) + (1)/(2) * (1)/(t + 1)) d t

Passo 3

Calculando as integrais:

I_1 = t - (1)/(2) ln |t - 1| + (1)/(2) ln |t + 1| = t + ln sqrt((t + 1)/(t - 1))

Voltando a variável x :

I_1 = sqrt(x + 1) + ln sqrt((sqrt(x + 1) + 1)/(sqrt(x + 1) - 1))

Por fim,

I = x + 2 ln |x| + I_1 = x + 2 ln |x| + sqrt(x + 1) + ln sqrt((sqrt(x + 1) + 1)/(sqrt(x + 1) - 1)) + C

Resposta

x + 2 ln |x| + sqrt(x + 1) + ln sqrt((sqrt(x + 1) + 1)/(sqrt(x + 1) - 1)) + C

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