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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.2 - Ex. 14

Calcule o limite, se existir.

underset(x -> 0)(lim) (x + e^(2 x))^((1)/(x))

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 1^(oo) , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação (oo)/(oo) ou (0)/(0) . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e^(underset(x -> 0)(lim) ln (x + e^(2 x))^((1)/(x))) = e^(underset(x -> 0)(lim) ln (x + e^(2 x)) (1)/(x))

Passo 2

Agora temos underset(x -> 0)(lim) ln (x + e^(2 x)) (1)/(x) e aplicaremos L’Hôpital.

underset(x -> 0)(lim) (((1 + 2 e^(2 x)))/((x + e^(2 x))))/(1) = underset(x -> 0)(lim) ((1 + 2 e^(2 x)))/((x + e^(2 x)))

Passo 3

Resolvendo o limite temos

underset(x -> 0)(lim) (x + e^(2 x))^((1)/(x)) = e^(underset(x -> 0)(lim) ln (x + e^(2 x)) (1)/(x)) = e^(underset(x -> 0)(lim) ((1 + 2 e^(2 x)))/((x + e^(2 x)))) = e^3

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (x + e^(2 x))^((1)/(x)) = e^3

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