Enunciado

Nos Exercícios de 3 a 22, simplifique a equação dada com uma rotação e uma translação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os três conjuntos de eixos.

19. 11 x 2 - 24 x y + 4 y 2 + 30 x + 40 y - 45 = 0

Passo 1

Galera, para rotacionarmos os eixos, devemos seguir o seguinte teorema, segundo o Leithold na seção 10.4:

“Se ( x ,   y ) for a representação de um ponto P em relação a um conjunto de eixos e ( x - ,   y - ) for a representação de P após a rotação dos eixos de um ângulo α , então:

i   x = x - . cos ⁡ α - y - . s e n   α   e   y = x - . s e n   α + y - . cos ⁡ α

i i   x - = x . cos ⁡ α + y . s e n   α   e   y - = - x . s e n   α + y . cos ⁡ α "

No qual α pode ser determinado utilizando-se a seguinte expressão:

c o t g   2 α = A - C B  

Aqui vale ressaltar que A é o termo que acompanha x ² , B é o termo que acompanha x y e C é o termo que acompanha y ² em uma equação de cônica, que é dada da seguinte maneira:

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0

Uma vez que esses conceitos estão claros pra gente, então podemos começar os trabalhos! Vamo que vamo!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

11 x 2 - 24 x y + 4 y 2 + 30 x + 40 y - 45 = 0

De ínicio, precisamos determinar cos ⁡ α e s e n   α , certo? Segundo a equação acima, temos que A = 11 , B = - 24 e C = 4 . Sendo assim, temos:

c o t g   2 α = 11 - 4 - 24 = - 7 24

Portanto:

cos ⁡ 2 α = - 7 25

Utilizando as identidades trigonométricas, teremos:

cos ⁡ α = 1 + cos ⁡ 2 α 2 = 1 - 7 25 2 = 3 5

s e n   α = 1 - cos ⁡ 2 α 2 = 1 + 7 25 2 = 4 5

Agora que determinamos s e n   α e cos ⁡ α , substituindo nas equações após a rotação de eixo, teremos:

x = x - . cos ⁡ α - y - . s e n   α   e   y = x - . s e n   α + y - . cos ⁡ α

x = x - . 3 5 - y - . 4 5   e   y = x - . 4 5 + y - . 3 5

Passo 3

Agora que encontramos as expressões para x e y pós rotação de eixos, vamos substituir os novos valores na equação dada, se liga:

11 x 2 - 24 x y + 4 y 2 + 30 x + 40 y - 45 = 0

11 . x - . 3 5 - y - . 4 5 2 - 24 . x - . 3 5 - y - . 4 5 . x - . 4 5 + y - . 3 5 + 4 . x - . 4 5 + y - . 3 5 2 + 30 . x - . 3 5 - y - . 4 5

+ 40 . x - . 4 5 + y - . 3 5 = 45

Abrindo e fazendo as devidas simplificações, obteremos:

x - 2 11.9 25 - 24.12 25 + 4.16 25 + y - 2 11.16 25 + 24.12 25 + 4.9 25 + 18 + 32 x - + - 24 + 24 y - = 45

- 5 x - 2 + 20 y - 2 + 50 x - = 45

- 5 x - 2 - 10 x - + 25 + 20 y - 2 = 45 - 125

Note que aqui o que fizemos foi completar o quadrado, ok? Continuando, teremos:

- 5 x - - 5 2 + 20 y - 2 = - 80

Chamando x - ' = ( x - - 5 ) e y - ' = y - , teremos:

- 5 x - ' ² + 20 y - ' ² = - 80

x - ' ² - 4 y - ' ² = 16

Por fim, esboçando o gráfico, teremos:

Resposta

x - ' ² - 4 y - ' ² = 16

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar a equação reduzida referida ao sistema X O ' Y e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico. 4 x 2 + 6 x y - 4 y 2 + 20 x - 20 y - 19 = 0
Determinar a equação reduzida referida ao sistema X O ' Y e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico. 3 x 2 - 2 x y + 3 y 2 - 2 x - 10 y - 1 = 0
Identificar as seguintes cônicas: x 2 - 1 = 0
Identificar as seguintes cônicas: x 2 - y = 1
Identificar as seguintes cônicas: x 2 - y = 0