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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.2 - Ex. 35

Se f (x) = {[[(1 - e^(4 x))^x , s e x < 0],[k , s e 0 <= x]]) , ache k de forma que f seja contínua em x = 0 .

Passo 1

Para fazermos que f seja contínua em x = 0 temos que encontrar k que torne underset(x -> 0^-)(lim) (1 - e^(4 x))^x = underset(x -> 0^+)(lim) k uma verdade. Sendo assim vamos resolver underset(x -> 0^-)(lim) (1 - e^(4 x))^x primeiro e depois igualar o resultado dos dois limites.

Passo 2

Como underset(x -> 0^-)(lim) (1 - e^(4 x))^x se trata de uma indeterminação 0^0 , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação (oo)/(oo) ou (0)/(0) . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e^(underset(x -> 0^-)(lim) ln (1 - e^(4 x))^x) = e^(underset(x -> 0^-)(lim) x ln (1 - e^(4 x)))

Passo 3

Agora temos underset(x -> 0^-)(lim) x ln (1 - e^(4 x)) que se trata de uma indeterminação 0 * oo aplicaremos algumas manipulações como inverter o x duas vezes.

underset(x -> 0^-)(lim) x ln (1 - e^(4 x)) = underset(x -> 0^-)(lim) (ln (1 - e^(4 x)))/((1)/(x)) = underset(x -> 0^-)(lim) ((- 4 e^(4 x))/((1 - e^(4 x))))/(- (1)/(x^2))

Passo 4

Como chegamos na indeterminação (oo)/(oo) aplicaremos L’Hôpital.

underset(x -> 0^-)(lim) (ln (1 - e^(4 x)))/((1)/(x)) = underset(x -> 0^-)(lim) ((- 4 e^(4 x))/((1 - e^(4 x))))/(- (1)/(x^2)) = underset(x -> 0^-)(lim) (4 x^2 e^(4 x))/((1 - e^(4 x)))

Passo 5

Como agora temos uma indeterminação (0)/(0) aplicaremos L’Hôpital novamente.

underset(x -> 0^-)(lim) (4 x^2 e^(4 x))/((1 - e^(4 x))) = underset(x -> 0^-)(lim) e^(4 x) underset(x -> 0^-)(lim) (4 x^2)/((1 - e^(4 x))) = (1) underset(x -> 0^-)(lim) (8 x)/(- e^(4 x)) = 0

underset(x -> 0^-)(lim) (1 - e^(4 x))^x = e^(underset(x -> 0^-)(lim) ln (1 - e^(4 x))^x) = e^(underset(x -> 0^-)(lim) (8 x)/(- e^(4 x))) = e^0 = 1

Passo 6

Tendo encontrado underset(x -> 0^-)(lim) (1 - e^(4 x))^x vamos igualar os dois limites e descobrir k

underset(x -> 0^-)(lim) (1 - e^(4 x))^x = underset(x -> 0^+)(lim) k

1 = k

Resposta

k = 1

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