Se lim x → + ∞ ⁡ n x + 1 n x - 1 x = 9   , ache n .

Passo 1

Para acharmos n vamos achar lim x → + ∞ ⁡ n x + 1 n x - 1 x e depois igualar a 9. Vamos passar a indeterminação de   lim x → + ∞ ⁡ n x + 1 n x - 1 x através de algumas manipulações na indeterminação ∞ ∞ ou 0 0 . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

lim x → + ∞ ⁡ n x + 1 n x - 1 x = lim x → + ∞ ⁡ n + 1 x n - 1 x x = e lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ n + 1 x n - 1 x x = e lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ n + 1 x n - 1 x

Passo 2

Como lim x → 0 ⁡ x + 1 ( ln ⁡ k ) / x se trata de uma indeterminação 1 ∞ , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação ∞ ∞ ou 0 0 . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x + 1 ( ln ⁡ k ) / x = e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ k x ln ⁡ x + 1

Passo 3

Agora temos lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ n + 1 x n - 1 x que se trata de uma indeterminação 0 ∙ ∞ , então para chegarmos em ∞ ∞ ou 0 0 vamos inverter x duas vezes e então aplicaremos L’Hôpital.

lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ n + 1 x n - 1 x = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ n + 1 x n - 1 x 1 x = lim x → + ∞ ⁡ n - 1 x n + 1 x - 1 x 2 n + n   n - 1 x 2 - 1 x 2

Passo 4

Resolvendo o limite temos que

lim x → + ∞ ⁡ n - 1 x n + 1 x - 1 x 2 n + n   n - 1 x 2 - 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 2 n n + 1 x n - 1 x 1 = lim x → + ∞ ⁡ 2 n n 2 - 1 x 2 = 2 n

lim x → + ∞ ⁡ n x + 1 n x - 1 x = e lim x → + ∞ ⁡ 2 n n 2 - 1 x 2 = e 2 n

Passo 5

Resolvendo a igualdade temos que

lim x → + ∞ ⁡ n x + 1 n x - 1 x = 9

e 2 n = 9

e 2 n = 3 2

e 1 n = 3

1 n = ln ⁡ 3

1 ln ⁡ 3 = n

Resposta

n = 1 ln ⁡ 3

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