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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.2 - Ex. 37

Se underset(x -> + oo)(lim) ((n x + 1)/(n x - 1))^x = 9 , ache n .

Passo 1

Para acharmos n vamos achar underset(x -> + oo)(lim) ((n x + 1)/(n x - 1))^x e depois igualar a 9. Vamos passar a indeterminação de underset(x -> + oo)(lim) ((n x + 1)/(n x - 1))^x através de algumas manipulações na indeterminação (oo)/(oo) ou (0)/(0) . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

underset(x -> + oo)(lim) ((n x + 1)/(n x - 1))^x = underset(x -> + oo)(lim) ((n + (1)/(x))/(n - (1)/(x)))^x = e^(underset(x -> + oo)(lim) ln ((n + (1)/(x))/(n - (1)/(x)))^x) = e^(underset(x -> + oo)(lim) x ln ((n + (1)/(x))/(n - (1)/(x))))

Passo 2

Como underset(x -> 0)(lim) (x + 1)^(( ln k ) // x) se trata de uma indeterminação 1^(oo) , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação (oo)/(oo) ou (0)/(0) . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e^(underset(x -> 0)(lim) ln (x + 1)^(( ln k ) // x)) = e^(underset(x -> 0)(lim) (ln k)/(x) ln (x + 1))

Passo 3

Agora temos underset(x -> + oo)(lim) x ln ((n + (1)/(x))/(n - (1)/(x))) que se trata de uma indeterminação 0 * oo , então para chegarmos em (oo)/(oo) ou (0)/(0) vamos inverter x duas vezes e então aplicaremos L’Hôpital.

underset(x -> + oo)(lim) x ln ((n + (1)/(x))/(n - (1)/(x))) = underset(x -> + oo)(lim) (ln ((n + (1)/(x))/(n - (1)/(x))))/((1)/(x)) = underset(x -> + oo)(lim) (((n - (1)/(x))/(n + (1)/(x))) ((- (1)/(x^2) (n + n))/((n - (1)/(x))^2)))/(- (1)/(x^2))

Passo 4

Resolvendo o limite temos que

underset(x -> + oo)(lim) (((n - (1)/(x))/(n + (1)/(x))) ((- (1)/(x^2) (n + n))/((n - (1)/(x))^2)))/(- (1)/(x^2)) = underset(x -> + oo)(lim) (((2 n)/((n + (1)/(x)) (n - (1)/(x)))))/(1) = underset(x -> + oo)(lim) (2 n)/((n^2 - (1)/(x^2))) = (2)/(n)

underset(x -> + oo)(lim) ((n x + 1)/(n x - 1))^x = e^(underset(x -> + oo)(lim) (2 n)/((n^2 - (1)/(x^2)))) = e^((2)/(n))

Passo 5

Resolvendo a igualdade temos que

underset(x -> + oo)(lim) ((n x + 1)/(n x - 1))^x = 9

e^((2)/(n)) = 9

e^((2)/(n)) = 3^2

e^((1)/(n)) = 3

(1)/(n) = ln 3

(1)/(ln 3) = n

Resposta

n = (1)/(ln 3)

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