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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.2 - Ex. 11

Calcule o limite, se existir.

underset(x -> 1)(lim) ((1)/(ln x) - (1)/(x - 1))

Passo 1

Como se trata de um indeterminação oo - oo , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação (oo)/(oo) ou (0)/(0) . Dessa forma vamos achar o M.M.C da expressão.

underset(x -> 1)(lim) ((x - 1 - ln x)/(ln x (x - 1)))

Passo 2

Aplicando L’Hôpital no limite e fazendo algumas manipulações temos underset(x -> 1)(lim) ((x - 1 - ln x)/(ln x (x - 1))) = underset(x -> 1)(lim) ((1 - (1)/(x))/(((x - 1))/(x) + ln x))

underset(x -> 1)(lim) (((1)/(x) (x - 1))/((1)/(x) ((x - 1) + x ln x))) = underset(x -> 1)(lim) (((x - 1))/((x - 1) + x ln x))

Passo 3

Como ainda temos a indeterminação (0)/(0) aplicaremos L’Hôpital novamente.

underset(x -> 1)(lim) ((1)/(1 + ln x + 1)) = underset(x -> 1)(lim) ((1)/(2 + ln x)) = (1)/(2)

Resposta

underset(x -> 1)(lim) ((1)/(ln x) - (1)/(x - 1)) = (1)/(2)

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