Calcule o limite, se existir.

lim x → 1 ⁡ 1 ln ⁡ x - 1 x - 1

Passo 1

Como se trata de um indeterminação ∞ - ∞ , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação ∞ ∞ ou 0 0 . Dessa forma vamos achar o M.M.C da expressão.

lim x → 1 ⁡ x - 1 - ln ⁡ x ln ⁡ x x - 1

Passo 2

Aplicando L’Hôpital no limite e fazendo algumas manipulações temos lim x → 1 ⁡ x - 1 - ln ⁡ x ln ⁡ x x - 1 = lim x → 1 ⁡ 1 - 1 x x - 1 x + ln ⁡ x

lim x → 1 ⁡ 1 x x - 1 1 x x - 1 + x ln ⁡ x =   lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1 + x ln ⁡ x

Passo 3

Como ainda temos a indeterminação 0 0 aplicaremos L’Hôpital novamente.

lim x → 1 ⁡ 1 1 + ln ⁡ x + 1 = lim x → 1 ⁡ 1 2 + ln ⁡ x = 1 2  

Resposta

lim x → 1 ⁡ 1 ln ⁡ x - 1 x - 1 = 1 2

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