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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.Revisão - Ex. 4

Nos exercícios de 1 a 18, calcule o limite, se existir.

lim x → 0 ⁡ e - 1 + x 1 x x

Passo 1

Nesta seção, a maioria dos limites que formos resolver estão associados com alguma forma indeterminada. As formas indeterminadas mais comuns são ∞ ∞ e 0 0 . Existe também outras formas indeterminadas como ∞ 0   ,   1 ∞   e   0 0 .

Para resolvermos os limites que estão sujeitos à algumas dessas formas indeterminadas, podemos utilizar a Regra de L´Hôspital. Essa regra nos diz que ao encontrar uma das formas indeterminadas no cálculo de algum limite devemos derivar o numerado e o denominador, separadamente, até que a indeterminação deixe de existir.

Em alguns casos devemos fazer com que apareçam essas indeterminações, por meio de artifícios matemáticos, para que possamos aplicar a Regra de L´Hôspital e a resolução do limite se tornar mais fácil.

Passo 2

Sendo assim, calculando o limite em questão temos que:

lim x → 0 ⁡ e - 1 + x 1 x x

Sabemos que l i m x → 0 1 + x 1 x = e , portanto podemos escrever o limite dado como:

lim x → 0 ⁡ e - 1 + x 1 x x = ⏞ 0 0   L ´ H l i m x → 0 0 - 1 + x 1 x . x 1 + x - ln ⁡ 1 + x x 2 1 = l i m x → 0 1 + x 1 x . l i m x → 0 ln ⁡ 1 + x - x 1 + x x 2

= ⏞ 0 0   L ´ H e . l i m x → 0 1 1 + x . 1 - 1 1 + x 2 2 x = ⏞ 0 0   L ´ H e . l i m x → 0 - 1 1 + x 2 + 2 1 + x 3   2 = 1 2 e

Resposta

lim x → 0 ⁡ e - 1 + x 1 x x = 1 2 e

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Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → ∞ ⁡ x x + 1 x
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Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x