Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.Revisão - Ex. 7

Nos exercícios de 1 a 18, calcule o limite, se existir.

lim x → π 2 ⁡ s e n 2 x t g x

Passo 1

Nesta seção, a maioria dos limites que formos resolver estão associados com alguma forma indeterminada. As formas indeterminadas mais comuns são ∞ ∞ e 0 0 . Existe também outras formas indeterminadas como ∞ 0   ,   1 ∞   e   0 0 .

Para resolvermos os limites que estão sujeitos à algumas dessas formas indeterminadas, podemos utilizar a Regra de L´Hôspital. Essa regra nos diz que ao encontrar uma das formas indeterminadas no cálculo de algum limite devemos derivar o numerado e o denominador, separadamente, até que a indeterminação deixe de existir.

Em alguns casos devemos fazer com que apareçam essas indeterminações, por meio de artifícios matemáticos, para que possamos aplicar a Regra de L´Hôspital e a resolução do limite se tornar mais fácil.

Passo 2

Sendo assim, calculando o limite em questão temos que:

lim x → π 2 ⁡ s e n 2 x t g x = ⏞ 1 ∞  

Neste tipo de indeterminação, podemos reescrever o problema:

s e n 2 x t g x = e l n s e n 2 x t g x = e t g x . l n ( s e n 2 x )

Portanto o limite pode ser escrito como:

lim x → π 2 ⁡ s e n 2 x t g x = l i m ⁡ x → π 2 e t g x . l n ( s e n 2 x )

Passo 3

Para isso devo saber para onde t g x . l n ( s e n 2 x ) vai tender, para eu substituir na equação do limite e encontrar o resultado do mesmo. Assim :

l i m x → π 2   t g x . l n s e n 2 x = l i m x → π 2 l n s e n 2 x 1 t g x = ⏞ 0 0   L ´ H = l i m x → π 2   1 s e n 2 x . 2 s e n x . c o s x - 1 s e n 2 x = 0  

Passo 4

Assim, o valor do limite procurado é:

lim x → π 2 ⁡ s e n 2 x t g x = l i m ⁡ x → π 2 e t g x . l n ( s e n 2 x ) = l i m ⁡ x → π 2 e 0 = 1

Resposta

lim x → π 2 ⁡ s e n 2 x t g x = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → ∞ ⁡x ln ⁡ 1 + 2 e x
Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → ∞ ⁡ e x x 3
Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 ⁡s e n x s e n h x
Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 ⁡1 x - c o s s e c
Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → ∞ ⁡ e x x