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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 3

Calcule a integral indefinida.

int (d x)/(x sqrt(x^2 + 4))

Passo 1

Primeiramente vamos pegar o sqrt(x^2 + 4) e desenvolver a Identidade Pitagórica.

t = sqrt(x^2 + 4)

t^2 = x^2 + 4

t^2 = x^2 + 2^2

Montando o triângulo temos

Com base nesse triângulo vamos usar a seguinte relação trigonométrica tan theta = (x)/(2)

Passo 2

Agora vamos aplicar a seguinte substituição chamar x = 2 tan theta e também as mudanças necessárias.

x = 2 tan theta

d x = 2 sec^2 theta d theta

int (2 sec^2 theta d theta)/(2 tan theta (sqrt((2 tan theta)^2 + 4)))

Passo 3

Vamos por alguns valores em evidência e aplicar a Identidade Trigonométrica.

int (2 sec^2 theta d theta)/(2 tan theta (sqrt(4 (tan^2 theta + 1))))

(cos^2 theta + sin^2 theta = 1) * (1)/(cos^2 theta)

1 + tan^2 theta = sec^2 theta

int (2 sec^2 theta d theta)/(2 tan theta * 2 sec theta)

(1)/(2) int (sec theta d theta)/(tan theta)

Passo 4

Aplicando a relação (1)/(tan theta) = cot theta = (cos theta)/(sin theta) trigonométrica temos

(1)/(2) int (cos theta sec theta d theta)/(sin theta)

(1)/(2) int (1 d theta)/(sin theta)

(1)/(2) int csc theta

Passo 5

Agora podemos resolver a integral e em seguida desfazer as mudanças através das relações trigonométricas do triângulo montado anteriormente cot theta = (2)/(x) e csc theta = (sqrt(x^2 + 4))/(x) .

(1)/(2) int csc theta

(1)/(2) ln (|csc theta - cot theta|) + c

(1)/(2) ln (|(sqrt(x^2 + 4))/(x) - (2)/(x)|) + c

(1)/(2) ln (|(sqrt(x^2 + 4) - 2)/(x)|) + c

(1)/(2) (ln (|sqrt(x^2 + 4) -|) - ln (|x|)) + c

Resposta

(1)/(2) (ln (|sqrt(x^2 + 4) -|) - ln (|x|)) + c

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