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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.2 - Ex. 12

Calcule o limite, se existir.

underset(x -> 0^+)(lim) (sinh x)^(tan x)

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 0^0 , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação (oo)/(oo) ou (0)/(0) . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e^(underset(x -> 0^+)(lim) ln (sinh x)^(tan x)) = e^(underset(x -> 0^+)(lim) tan x * ln (sinh x))

Passo 2

Agora temos underset(x -> 0^+)(lim) tan x * ln (sinh x) que se trata de uma indeterminação 0 * oo , assim vamos aplicar outra manipulação, vamos inverter duas vezes tan x .

underset(x -> 0^+)(lim) (ln (sinh x))/(1 // tan x) = underset(x -> 0^+)(lim) (ln (sinh x))/(cot x)

Passo 3

Aplicando L’Hôpital no limite temos e fazendo algumas manipulações temos

underset(x -> 0^+)(lim) - ((cosh x)/(sinh x))/(csc^2 x) = underset(x -> 0^+)(lim) - (sin^2 x)/(sinh x) cosh x = underset(x -> 0^+)(lim) - (sin^2 x)/(sinh x) * underset(x -> 0^+)(lim) cosh x

underset(x -> 0^+)(lim) - (sin^2 x)/(sinh x) * 1

Passo 4

Como ainda temos a indeterminação (0)/(0) aplicaremos L’Hôpital novamente.

underset(x -> 0^+)(lim) - (sin^2 x)/(sinh x) = underset(x -> 0^+)(lim) - (2 sin x cos x)/(cosh x) = 0

underset(x -> 0^+)(lim) (sinh x)^(tan x) = e^(underset(x -> 0^+)(lim) tan x * ln (sinh x)) = e^(underset(x -> 0^+)(lim) - (2 sin x cos x)/(cosh x)) = e^0 = 1

Resposta

underset(x -> 0^+)(lim) (sinh x)^(tan x) = 1

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