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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 76

Os Exercícios de 75 a 81 pertencem à Secção Suplementar 7.8. Nos Exercícios 75 e 76, ache a solução completa da equação diferencial.

76 ) d x d y + 2 x . c o t g   y = s e c ²   y

Passo 1

Segundo o Teorema 7.8.1, a solução completa da equação diferencial:

d x d y + P y x = Q ( y )

É

x = e - ∫ P y . d y . ∫ Q ( y ) . e ∫ P y . d y . d y + C . e - ∫ P y . d y

O primeiro passo para resolver a equação é manipulá-la para a forma dada pelo Teorema:

d x d y + 2 x . c o t g   y = s e c ²   y

d x d y + 2 . c o t g   y . x = s e c ²   y

Então:

P y = 2 . c o t g   y

Q y = s e c ²   y

Passo 2

Calculando

∫ P y . d y = ∫ 2 . c o t g   y . d y = 2 ∫ cos ⁡ y sen ⁡ y . d y

Chamando:

sen ⁡ y = u

cos ⁡ y . d y = d u

2 ∫ cos ⁡ y sen ⁡ y . d y = 2 ∫ d u u = 2 . ln ⁡ u = 2 . ln ⁡ | s e n   y | = ln ⁡ | s e n   y | ²

e - ∫ P y . d y = e ln ⁡ s e n   y - 2 = 1 s e n 2 y

∫ Q ( y ) . e ∫ P y . d y . d y = ∫ s e c ²   y . s e n ²   y . d y = ∫ 1 c o s ²   y . s e n ²   y . d y = ∫ t g ²   y . d y = ∫ s e c ²   y . d y - ∫ d y = t g   y - y

C . e - ∫ P y . d y = C s e n 2 y

Substituindo:

x = 1 s e n 2 y . ( t g   y - y ) + C s e n 2 y

x = 1 s e n 2 y . s e n   y cos ⁡ y - y + C s e n 2 y =

x = c o s e c   y . sec ⁡ y - y . c o s e c ²   y + c o s e c ²   y . C

Resposta

x = c o s e c   y . sec ⁡ y - y . c o s e c ²   y + c o s e c ²   y . C

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