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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.1 - Ex. 13

Calcule o limite, se ele existir.

underset(x -> (pi)/(2))(lim) (ln sin x)/((pi - 2 x)^2)

Passo 1

Pra resolver esse limite, nós vamos precisar usar L’Hôpital. Vai com cuidado e lembrando da Regra da Cadeia!

underset(x -> (pi)/(2))(lim) (ln sin x)/((pi - 2 x)^2) = underset(x -> (pi)/(2))(lim) ((cos x)/(sin x))/(2 ( pi - 2 x ) ( - 2 )) = underset(x -> (pi)/(2))(lim) (cot x)/(- 4 ( pi - 2 x ))

Passo 2

Como isso ainda não resolveu o problema, vamo tentar L’Hôpital de novo:

underset(x -> (pi)/(2))(lim) (cot x)/(- 4 ( pi - 2 x )) = underset(x -> (pi)/(2))(lim) (csc^2 x)/(8) = (1)/(8) underset(x -> (pi)/(2))(lim) csc^2 x

Passo 3

Agora já acabou o trabalho, já que csc^2 (pi)/(2) = 1 . Fica, então:

underset(x -> (pi)/(2))(lim) (ln sin x)/((pi - 2 x)^2) = (1)/(8) .

Resposta

underset(x -> (pi)/(2))(lim) (ln sin x)/((pi - 2 x)^2) = (1)/(8) .

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