Calcule o limite, se ele existir.

lim x → π 2 ⁡ ln ⁡ sin ⁡ x π - 2 x 2

Passo 1

Pra resolver esse limite, nós vamos precisar usar L’Hôpital. Vai com cuidado e lembrando da Regra da Cadeia!

lim x → π 2 ⁡ ln ⁡ sin ⁡ x π - 2 x 2 = lim x → π 2 ⁡ cos ⁡ x sin ⁡ x 2 ( π - 2 x ) ( - 2 ) = lim x → π 2 ⁡ cot ⁡ x - 4 ( π - 2 x )

Passo 2

Como isso ainda não resolveu o problema, vamo tentar L’Hôpital de novo:

lim x → π 2 ⁡ cot ⁡ x - 4 ( π - 2 x ) = lim x → π 2 ⁡ csc 2 ⁡ x 8 = 1 8 lim x → π 2 ⁡ csc 2 ⁡ x

Passo 3

Agora já acabou o trabalho, já que csc 2 ⁡ π 2 = 1 . Fica, então:

lim x → π 2 ⁡ ln ⁡ sin ⁡ x π - 2 x 2 = 1 8 .

Resposta

lim x → π 2 ⁡ ln ⁡ sin ⁡ x π - 2 x 2 = 1 8 .

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