Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.6 - Ex. 28

Calcule o limite e justifique cada passagem indicando a propriedade apropriada do limite

Passo 1

Vamos nessa! Precisamos calcular o limite abaixo:

Mas se a gente fizer a coisa mais óbvia que é substituit por , nós achamos uma raiz de número negativo.

Então vamos manipular essa expressão. E a dica é a seguinte! Quando tiver somas ou subtrações de raízes, desconfie de que temos que multiplicar pelo conjugado. Sempre pense nessa possibilidade.

E o conjugado de é:

Vamos multiplicar e dividir por esse termo.

Passo 2

Vamos multiplicar e dividir pelo conjugado:

Fazendo a distributiva:

Perfeito! Agora vamos tentar resolver o limite:

Achamos uma indeterminação. Então vamos continuar com as manipulações matemáticas.

Passo 3

Agora vou te dar mais uma dica boa!

Como esse limite é no infinito, vamos tentar fazer aparecer termos fracionários com constantes no numerador e potências de no denominador. Isso vai nos ajudar porque, NO INFINITO, esses termos vão ser zero:

Pra isso, vamos dividir o numerador e o denominador pela potência mais elevada de . Essa seria , mas como esse termo ta dentro de uma raiz, vamos dividir por

Simplificando:

Como a função é contínua, aplicamos as propriedades dos limites que dizem que o limite do quociente é o quociente dos limites, o limite da soma é a soma dos limites e etc.