Enunciado

Calcule o limite e justifique cada passagem indicando a propriedade apropriada do limite

lim x → - ∞ ⁡ ( 4 x 2 + 3 x - 2 x ) .

Passo 1

Vamos nessa! Precisamos calcular o limite abaixo:

lim x → - ∞ ⁡ ( 4 x 2 + 3 x - 2 x )

Mas se a gente fizer a coisa mais óbvia que é substituit x por - ∞ , nós achamos uma raiz de número negativo.

Então vamos manipular essa expressão. E a dica é a seguinte! Quando tiver somas ou subtrações de raízes, desconfie de que temos que multiplicar pelo conjugado. Sempre pense nessa possibilidade.

E o conjugado de 4 x 2 + 3 x - 2 x é:

4 x 2 + 3 x + 2 x

Vamos multiplicar e dividir por esse termo.

Passo 2

lim x → - ∞ ⁡ ( 4 x 2 + 3 x - 2 x )

Vamos multiplicar e dividir pelo conjugado:

lim x → - ∞ ⁡ 4 x 2 + 3 x - 2 x 4 x 2 + 3 x + 2 x 4 x 2 + 3 x + 2 x

Fazendo a distributiva:

lim x → - ∞ ⁡ 4 x 2 + 3 x - 4 x 2 4 x 2 + 3 x + 2 x

lim x → ∞ ⁡ 3 x 4 x 2 + 3 x + 2 x

Perfeito! Agora vamos tentar resolver o limite:

lim x → ∞ ⁡ 3 x 4 x 2 + 3 x + 2 x = ∞ ∞

Achamos uma indeterminação. Então vamos continuar com as manipulações matemáticas.

Passo 3

Agora vou te dar mais uma dica boa!

Como esse limite é no infinito, vamos tentar fazer aparecer termos fracionários com constantes no numerador e potências de x no denominador. Isso vai nos ajudar porque, NO INFINITO, esses termos vão ser zero:

l i m x → ∞ 1 x = 0

Pra isso, vamos dividir o numerador e o denominador pela potência mais elevada de x . Essa seria x 2 , mas como esse termo ta dentro de uma raiz, vamos dividir por x :

lim x → - ∞ ⁡ 3 x x 4 x 2 x 2 + 3 x x 2 + 2 x x

Simplificando:

lim x → - ∞ ⁡ 3 4 + 3 x + 2

Como a função é contínua, aplicamos as propriedades dos limites que dizem que o limite do quociente é o quociente dos limites, o limite da soma é a soma dos limites e etc.

lim x → - ∞ ⁡ 3 4 + 3 x + 2 = l i m x → - ∞ 3 l i m x → - ∞ 4 + l i m x → - ∞ 3 x + l i m x → - ∞ 2

E o limite de constante é a própria constante:

l i m x → - ∞ 3 l i m x → - ∞ 4 + l i m x → - ∞ 3 x + l i m x → - ∞ 2 = 3 4 + l i m x → - ∞ 3 x + 2

Olha, achamos um termo tipo aqueles que podemos anular!

l i m x → - ∞ 3 x = 0

Então:

3 4 + l i m x → - ∞ 3 x + 2 = 3 4 + 2 = 3 4

Uhuuulll! A resposta final é:

lim x → - ∞ ⁡ ( 4 x 2 + 3 x - 2 x ) = 3 4

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ ( 4 x 2 + 3 x - 2 x ) = 3 4

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