Enunciado

Prove que lim x → - ∞ ⁡ 8 x + 3 2 x - 1 = 4 , mostrando que para todo ε > 0 existe um número N < 0 , tal que se x < N então 8 x + 3 2 x - 1 - 4 < ε .

Passo 1

Partiu então. Primeira coisa que podemos fazer é mexer no interior daquele módulo. Bora lá:

8 x + 3 2 x - 1 - 4 < ε

8 x + 3 2 x - 1 - 4 2 x - 1 2 x - 1 < ε

8 x + 3 2 x - 1 - 8 x - 4 2 x - 1 < ε

8 x + 3 - 8 x + 4 2 x - 1 < ε

7 2 x - 1 < ε

Manipulando mais um pouquinho:

7 2 x - 1 < ε

2 x - 1 7 > 1 ε

2 x - 1 > 7 ε

Passo 2

Da definição de módulo:

2 x - 1 = 2 x - 1 ,     s e   2 x - 1 ≥ 0 - 2 x + 1 ,     s e   2 x - 1 < 0

O que é a mesma coisa que:

2 x - 1 = 2 x - 1 ,     s e   x ≥ 1 2 - 2 x + 1 ,     s e   x < 1 2

Como queremos N < 0 tal que x < N , a definição de módulo que usaremos é a negativa, fazendo com que fiquemos com:

- 2 x + 1 > 7 ε

- 2 x > 7 ε - 1

2 x < 1 - 7 ε

2 x < ε ε - 7 ε

x < ε - 7 2 ε

Conclusão que chegamos é que se para todo ε > 0 , não importa o quão pequeno, existir um número N = ε - 7 2 ε tal que x < N , então será verdade 8 x + 3 2 x - 1 - 4 < ε .

Faça um teste! Para ε = 1 por exemplo, N = - 3 . Escolhendo, por exemplo, x = - 10 < N , temos:

8 - 10 + 3 2 - 10 - 1 - 4 < 1

0,333 < 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine os limites nos Exercícios 11-22.underset(z - 0)(lim) (2 z - 8)^((1)/(3))
Determine os limites nos Exercícios 23-42.underset(y - 0)(lim) (5 y^3 + 8 y^2)/(3 y^4 - 16 y^2)
Se f 1 = 5 , lim x → 1 ⁡ f ( x ) deve existir? Em caso afirmativo, deve ser lim x → 1 ⁡ f ( x ) = 5 ? Podemos concluir algo sobre lim x → 1 ⁡ f ( x ) ? Explique.
Determine os limites nos Exercícios 23-42.underset(x - 2)(lim) (sqrt(x^2 + 12) - 4)/(x - 2)
Determine os limites nos Exercícios 11-22.underset(h - 0)(lim) (sqrt(5 h + 4) - 2)/(h)