Calcule o limite:

underset(x -> 0)(lim) s e n ((pi + t g (x))/(t g (x) - 2 sec (x)))

Passo 1

Relembrando que as funções polinomiais, racionais, raízes, trigonométricas e exponenciais são funções contínuas em todo o seu domínio, temos uma propriedade dos limites que permite que ele entre na função contínua. Veja abaixo um exemplo:

underset(x -> x_0)(lim) s e n (x) = s e n ( underset(x -> x_0)(lim) x )

Para resolvermos limites, o primeiro passo é aplicar o valor x_0 na função e analisar se há uma indeterminação ou não. Caso não ocorra, temos a nossa solução! Agora, se uma indeterminação aconteceu, (0)/(0) ou (oo)/(oo) por exemplo, teremos um probleminha a mais para resolver. Sendo assim, precisaremos realizar algumas manipulações algébricas para que eliminemos os termos que causam a indeterminação.

Está complexo? Não se assuste e vamos resolver calmamente. Quando necessário trabalhar com indeterminação, resolveremos calmamente.

Passo 2

Conforme descrito anteriormente, o nosso primeiro passo é aplicar o valor x = 0 na função. Sendo assim, temos:

underset(x -> 0)(lim) s e n ((pi + t g (x))/(t g (x) - 2 sec (x))) = s e n [underset(x -> 0)(lim) ((pi + t g (x))/(t g (x) - 2 sec (x)))]

s e n [((pi + t g (0))/(t g (0) - 2 sec (0)))] = s e n [(pi + 0)/(0 - 2 * 1)]

s e n [- (pi)/(2)] = - 1

Portanto, o valor do nosso limite é - 1 .

Resposta

underset(x -> 0)(lim) s e n ((pi + t g (x))/(t g (x) - 2 sec (x))) = - 1

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