63. Se f'(a) existe, prove que

f ´ a = lim ∆ x → 0 ⁡ f a + ∆ x - f ( a - ∆ x ) 2 ∆ x

Passo 1

Esta questão trata-se de uma questão de demonstração (prove ). Para poder resolver a mesma basta utilizarmos as duas equações existentes para definição de derivada. Com isso podemos encontrar o que ele nos pede, que é para encontrar f ’ ( a ) .

Passo 2

Sabemos que uma definição de derivada pode ser representada pela seguinte equação:

f ´ a = lim ∆ x → 0 ⁡ f a + ∆ x - f ( a ) ∆ x

Passo 3

Sabemos que uma outra definição de derivada pode ser representada pela seguinte equação:

f ´ a = lim ∆ x → 0 ⁡ f a - f a - ∆ x ∆ x

Passo 4

Somando as duas equações acima chegamos na seguinte expressão:

2 f ´ a = lim ∆ x → 0 ⁡ f a - f a - ∆ x ∆ x +   lim ∆ x → 0 ⁡ f a + ∆ x - f ( a ) ∆ x

2 f ´ a = lim ∆ x → 0 ⁡ f a - f a - ∆ x ∆ x +   f a + ∆ x - f ( a ) ∆ x

Portanto, f ´ a = lim ∆ x → 0 ⁡ f a + ∆ x - f ( a - ∆ x ) 2 ∆ x .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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