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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 63

63. Se f ´ ( a ) existe, prove que

f ´ (a) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (a + Delta x) - f ( a - Delta x ))/(2 Delta x)

Passo 1

Esta questão trata-se de uma questão de demonstração (prove ). Para poder resolver a mesma basta utilizarmos as duas equações existentes para definição de derivada. Com isso podemos encontrar o que ele nos pede, que é para encontrar f ’ ( a ) .

Passo 2

Sabemos que uma definição de derivada pode ser representada pela seguinte equação:

f ´ (a) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (a + Delta x) - f ( a ))/(Delta x)

Passo 3

Sabemos que uma outra definição de derivada pode ser representada pela seguinte equação:

f ´ (a) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (a) - f (a - Delta x))/(Delta x)

Passo 4

Somando as duas equações acima chegamos na seguinte expressão:

2 f ´ (a) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (a) - f (a - Delta x))/(Delta x) + underset(Delta x -> 0)(lim) (f (a + Delta x) - f ( a ))/(Delta x)

2 f ´ (a) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (a) - f (a - Delta x))/(Delta x) + (f (a + Delta x) - f ( a ))/(Delta x)

Portanto, f ´ (a) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (a + Delta x) - f ( a - Delta x ))/(2 Delta x) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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