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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.5 - Ex. 53

Calcule o limite:

underset(t -> 0)(lim) t g (1 - (s e n ( t ))/(t))

Passo 1

Relembrando que as funções polinomiais, racionais, raízes, trigonométricas e exponenciais são funções contínuas em todo o seu domínio, temos uma propriedade dos limites que permite que ele entre na função contínua. Veja abaixo um exemplo:

underset(x -> x_0)(lim) s e n (x) = s e n ( underset(x -> x_0)(lim) x )

Para resolvermos limites, o primeiro passo é aplicar o valor x_0 na função e analisar se há uma indeterminação ou não. Caso não ocorra, temos a nossa solução! Agora, se uma indeterminação aconteceu, (0)/(0) ou (oo)/(oo) por exemplo, teremos um probleminha a mais para resolver. Sendo assim, precisaremos realizar algumas manipulações algébricas para que eliminemos os termos que causam a indeterminação.

Está complexo? Não se assuste e vamos resolver calmamente. Quando necessário trabalhar com indeterminação, resolveremos calmamente.

Passo 2

Conforme descrito anteriormente, o nosso primeiro passo é aplicar o valor t = 0 na função. Sendo assim, temos:

underset(x -> 0)(lim) t g (1 - (s e n ( t ))/(t)) = t g [underset(t -> 0)(lim) (1 - (s e n (t))/(t))]

t g [underset(t -> 0)(lim) (1 - (s e n (t))/(t))] = t g [1 - underset(t -> 0)(lim) (s e n (t))/(t)]

Vejamos abaixo o que ocorre com o underset(t -> 0)(lim) (s e n (t))/(t) :

underset(t -> 0)(lim) (s e n (t))/(t) = (s e n ( 0 ))/(0) = (0)/(0)

Portanto, chegamos a uma indeterminação.

Passo 3

Esta indeterminação que chegamos é um dos limites fundamentais. Sempre que chegarmos a ele, podemos substituir o seu valor diretamente, o qual é:

underset(t -> 0)(lim) (s e n (t))/(t) = 1

Logo, temos:

t g [1 - 1] = t g (0) = 0

Portanto, o valor do nosso limite é 0 .

Resposta

underset(t -> 0)(lim) t g (1 - (s e n ( t ))/(t)) = 0

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