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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 69

Expresse, em termos de integrais, as soluções dos problemas de valor inicial nos exercícios 69 e 70.

d y d x = sec ⁡ x ,     y 2 = 3

Passo 1

Nesses exercícios, precisamos aplicar a integral dos dois lados da equação. Mas quais serão os limites de integração?

Boa pergunta jovem gafanhoto! Nós vamos colocar sempre x no limite superior e o valor de x dado na condição inicial. Isso pois temos o seguinte

∫ a x d y d x d x = y x - y ( a )

E ele nos deu o valor de y a na condição inicial!

Passo 2

No nosso caso temos que a nossa condição inicial é y 2 = 3 . Logo, vamos ter que a = 2 . Então

∫ 2 x d y d x d x = ∫ 2 x sec ⁡ t d t

Usando a expressão do passo 1 (que vem do teorema fundamental do cálculo):

y x - y 2 = ∫ 2 x sec ⁡ t d t → y x - 3 = ∫ 2 x sec ⁡ t d t

Logo,

y x = ∫ 2 x sec ⁡ t d t + 3

Resposta

y x = ∫ 2 x sec ⁡ t d t + 3

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