Enunciado

Calcule o limite.

underset(x -> 0)(lim) (sqrt(1 + x) - sqrt(1 - x))/(x)

Passo 1

Inicialmente, vamos fazer x = 0 para ver se já conseguimos achar o limite.

L = (sqrt(1 + 0) - sqrt(1 - 0))/(0)

Como a e b são positivos:

L = (1 - 1)/(0) -> L = (0)/(0)

Opa, como chegamos numa indeterminação temos que dar uma mexida na expressão para tirar essa indeterminação.

Passo 2

A ideia será multiplicar por sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x) , porque se mudarmos o sinal de ambos os termos que tem a raiz não vamos conseguir chegar numa expressão do tipo (a - b) (a + b) . Assim,

L = underset(x -> 0)(lim) (sqrt(1 + x) - sqrt(1 - x))/(x) xx (sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x))/(sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x))

Isto é

L = underset(x -> 0)(lim) ((sqrt(1 + x) - sqrt(1 - x)) (sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x)))/(x (sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x)))

Agora repare que no numerador apareceu uma expressão do tipo:

(a - b) (a + b)

E essa expressão é conhecida!

(a - b) (a + b) = a^2 - b^2

Assim, nosso limite vai ficar o seguinte:

L = underset(x -> 0)(lim) ((sqrt(1 + x))^2 - (sqrt(1 - x))^2)/(x (sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x)))

Elevando os termos ao quadrado:

L = underset(x -> 0)(lim) ((1 + x) - (1 - x))/(x (sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x)))

Logo,

L = underset(x -> 0)(lim) (2 x)/(x (sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x)))

Passo 3

Pra fechar com chave de ouro é só cortar o x e encontrar o limite.

L = underset(x -> 0)(lim) (2)/(sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x))

Agora basta fazer x = 0 e correr pro abraço.

L = (2)/(sqrt(1) + sqrt(1))

Portanto,

L = 1

Resposta

L = 1

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71-74. Escreva por extenso as definições dos limites dados na nota da margem da página 105) e use sua definição para provar que o limite dado está correto.73. b) lim x → - ∞ ⁡ x + 1 = - ∞
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71-74. Escreva por extenso as definições dos limites dados na nota da margem da página 105) e use sua definição para provar que o limite dado está correto.72. b) lim x → 0 - ⁡ 1 x = - ∞
65-70. Use as definições do Exercício 27 para provar que o limite lateral dado está correto.70. lim x → 2 - ⁡ f x = 6 ,o n d ef x = x , x2 3 x , x ≤ 2