Enunciado

Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.

lim x → 0 ⁡ tanh ⁡ a x x

Passo 1

Pra calcular esse limite, a gente vai ter que fazer aparecer o limite fundamental hiperbólico que a gente já conhece:

lim y → 0 ⁡ s e n h y y = 1

Esse y pode ser qualquer coisa, só importa que esteja igual no numerador e no denominador!

Passo 2

Vamos reescrever esse limite:

lim x → 0 ⁡ tanh ⁡ a x x = lim x → 0 ⁡ s e n h a x x × cosh ⁡ a x

Separando esse limite em dois:

lim x → 0 ⁡ tanh ⁡ a x x = lim x → 0 ⁡ s e n h a x x × lim x → 0 ⁡ 1 cosh ⁡ a x

O segundo limite é só substituir, porque cosh ⁡ 0 vale 1 .

lim x → 0 ⁡ 1 cosh ⁡ a x = 1 cosh ⁡ 0 = 1 1 = 1

O primeiro precisa de uma olhadinha pra chegar no fundamental.

lim x → 0 ⁡ s e n h a x x

Multiplicando por a em cima e embaixo pra poder ficar com cara de fundamental:

lim x → 0 ⁡ s e n h a x x = a lim x → 0 ⁡ s e n h a x a x

Esse sim vale 1 !

lim x → 0 ⁡ s e n h a x x = a × 1

Passo 3

Juntando tudo,

lim x → 0 ⁡ tanh ⁡ a x x = lim x → 0 ⁡ s e n h a x x × lim x → 0 ⁡ 1 cosh ⁡ a x

lim x → 0 ⁡ tanh ⁡ a x x = a × 1

lim x → 0 ⁡ tanh ⁡ a x x = a

Resposta

lim x → 0 ⁡ tanh ⁡ a x x = a

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