Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.7 - Ex. 17

Encontrar o volume do solido gerado pela rotação, em torno do eixo dos , da região limitada por e .

Passo 1

Inicialmente vamos fazer uma ilustração para entender qual é a região delimitada pelas curvas. Se liga nessa ilustração onde a vermelha representa e a preta :

Para acharmos o ponto de interseção da curva vermelha com a azul do lado direito, podemos fazer assim ó:

Juntando a primeira com a segunda:

Se :

Logo,

Voltando para segunda equação:

Então teremos os seguintes pontos:

Passo 2

Como queremos calcular o volume do solido gerado pela rotação, em torno do eixo dos , da região limitada, vamos usar a seguinte expressão:

Repare que para a curva vermelha nós já sabemos o valor de . Assim,

Integrando:

Pra finalizar, vamos aplicar entre esses pontos.

Fazendo as contas:

Portanto,

Resposta

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No Exercício 6 da Seção 6.2, giramos em torno do eixo y a região entre a curva y = 9 x / x 3 + 9 e o eixo x de x = 0 a x = 3 para gerar um sólido de volume 36 π . Em vez disso, se girarmos a região em

Determine o volume do sólido obtido com a rotação de cada região em torno do eixo y . A região é a região, no primeiro quadrante, limitada à esquerda pelo círculo x 2 + y 2 = 3 , à direita pela reta x

Determine o volume do sólido obtido com a rotação de cada região em torno do eixo y . A região é a região limitada pelo triângulo com vértices 0,1 , 1,0 e 1,1 .

Determine o volume do sólido obtido com a rotação de cada região em torno do eixo y . A região é a região, no primeiro quadrante, limitada acima pela parábola y = x 2 , abaixo pelo eixo x e à direita

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .