Encontrar o volume do solido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x , da região limitada por y 2 = 16 x e y = 4 x .

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.7 - Ex. 17

Encontrar o volume do solido gerado pela rotação, em torno do eixo dos , da região limitada por e .

Passo 1

Inicialmente vamos fazer uma ilustração para entender qual é a região delimitada pelas curvas. Se liga nessa ilustração onde a vermelha representa e a preta :

Para acharmos o ponto de interseção da curva vermelha com a azul do lado direito, podemos fazer assim ó:

Juntando a primeira com a segunda:

Se :

Logo,

Voltando para segunda equação:

Então teremos os seguintes pontos:

Passo 2

Como queremos calcular o volume do solido gerado pela rotação, em torno do eixo dos , da região limitada, vamos usar a seguinte expressão:

Repare que para a curva vermelha nós já sabemos o valor de . Assim,

Integrando:

Pra finalizar, vamos aplicar entre esses pontos.

Fazendo as contas:

Portanto,

Resposta

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12. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva y = sin ⁡ x e pelas retas x = 0 , x = π e y = 2 em torno da reta y = 2 .

15. Volume de um orifício de uma esfera sólida Um orifício redondo de raio 3 pés é furado através do centro de uma esfera sólida de raio 2 pés. Determine o volume de material removido da esfera.

13. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva x = e y 2 e pelas retas y = 0 , x = 0 e y = 1 em torno do eixo x .

A região entre a curva y = 1 / x 2 e o eixo x de x = 1 / 2 a x = 2 é girada em torno do eixo y , gerando um sólido. Determine o volume do sólido.

No Exercício 6 da Seção 6.2, giramos em torno do eixo y a região entre a curva y = 9 x / x 3 + 9 e o eixo x de x = 0 a x = 3 para gerar um sólido de volume 36 π . Em vez disso, se girarmos a região em