Calcule o limite. lim t → ∞ ⁡ 1 + t 2 1 - t ² , t g - 1 t , 1 - e - 2 t t ²

lim t → ∞ ⁡ 1 + t 2 1 - t ² , t g - 1 t , 1 - e - 2 t t = - 1 , π 2 , 0 ²

Enunciado

Eaee, belezinha??? Bom... queremos calcular o seguinte limite:

Pessoal, para calcular o limite de uma função vetorial, podemos tomar individualmente o limite de cada uma das funções componentes.

Nesse caso, as componentes são:

Assim, devemos calcular o limite para para cada uma dessas componentes e depois a gente junta tudo novamente 😉

Limite da componente :

Substituindo na função, chegamos a uma indeterminação do tipo .

Deste modo, vamos colocar em evidência para sair dessa indeterminação:

Podemos simplificar o :

Aplicando o limite, vemos que quando , o inverso tende a zero, portanto:

Limite da componente :

A tangente tende ao infinito quando o ângulo se aproxima de , logo:

Limite da componente :

Separando o limite, temos:

Resolvendo os limites, temos:

Então, substituindo no limite do enunciado, temos: