Calcule o limite.

lim t → ∞ ⁡ 1 + t 2 1 - t ² , t g - 1 t , 1 - e - 2 t t

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos calcular o seguinte limite:

lim t → ∞ ⁡ 1 + t 2 1 - t ² , t g - 1 t , 1 - e - 2 t t

Pessoal, para calcular o limite de uma função vetorial, podemos tomar individualmente o limite de cada uma das funções componentes.

Nesse caso, as componentes são:

x = 1 + t 2 1 - t ²

y = t g - 1 t

z = 1 - e - 2 t t

Assim, devemos calcular o limite para t → ∞ para cada uma dessas componentes e depois a gente junta tudo novamente 😉

Passo 2

Limite da componente x :

lim t → ∞ ⁡ x t = lim t → ∞ ⁡ 1 + t 2 1 - t ² = ∞ - ∞

Substituindo na função, chegamos a uma indeterminação do tipo ∞ ∞ .

Deste modo, vamos colocar t 2 em evidência para sair dessa indeterminação:

lim t → ∞ ⁡ x t = lim t → ∞ ⁡ 1 + t 2 1 - t 2 ∴

lim t → ∞ ⁡ x t = lim t → ∞ ⁡ t 2 1 t 2 + 1 t 2 1 t 2 - 1 ∴

Podemos simplificar o t 2 :

lim t → ∞ ⁡ x t = lim t → ∞ ⁡ 1 t 2 + 1 1 t 2 - 1

Aplicando o limite, vemos que quando t → ∞ , o inverso 1 t tende a zero, portanto:

lim t → ∞ ⁡ x t = 0 + 1 0 - 1 ∴

lim t → ∞ ⁡ x t = - 1

Passo 3

Limite da componente y :

lim t → ∞ ⁡ y t = lim t → ∞ ⁡ t g - 1 t

A tangente tende ao infinito quando o ângulo se aproxima de π 2 , logo:

lim t → ∞ ⁡ y t = π 2  

Passo 4

Limite da componente z :

lim t → ∞ ⁡ z t = lim t → ∞ ⁡ 1 - e - 2 t t

Separando o limite, temos:

lim t → ∞ ⁡ z t = lim t → ∞ ⁡ 1 t - lim t → ∞ ⁡ 1 t e 2 t

Resolvendo os limites, temos:

lim t → ∞ ⁡ z t = 0 - 0 = 0

Então, substituindo no limite do enunciado, temos:

lim t → ∞ ⁡ 1 + t 2 1 - t ² , t g - 1 t , 1 - e - 2 t t = - 1 , π 2 , 0

Resposta

lim t → ∞ ⁡ 1 + t 2 1 - t ² , t g - 1 t , 1 - e - 2 t t = - 1 , π 2 , 0

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