Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada. Esboce a trajetória da partícula e desenhe os vetores velocidade e aceleração para os valores de t especificados.

r(t) = e^t * i + e^(2t) * j; t = 0

Passo 1

Olá, meu bom amigo. Vem comigo que a gente vai resolver essa atividade juntos.

Dada a equação da posição:

r t = e t i + e 2 t j ;        

Uma partícula que tem uma função vetorial de posição do tipo:

r t = x t , y t

Vamos encontrar as equações para a velocidade, aceleração e velocidade escalar dessa partícula a partir da equação da posição que nos foi dada.

Tem como função vetorial velocidade:

v t = d r ( t ) d t = d x ( t ) d t , d y ( t ) d t

Velocidade escalar:

v t = d x d t 2 + d y d t 2

E vetor aceleração:

a t = d v d t = d 2 r ( t ) d t 2 = d 2 x ( t ) d t 2 , d 2 y ( t ) d t 2

Dito tudo isso, vamos dar início a nossa resolução.

Passo 2

Queremos calcular o vetor velocidade, velocidade escalar e aceleração, e após isso, esboçar a curva da seguinte função vetorial, desenhando o vetor aceleração e posição no ponto:

r t = e t i + e 2 t   j t = 0

O vetor posição em t = 0 é:

r 0 = 1   i + 1   j

Vamos calcular a velocidade:

v t = d r ( t ) d t = d x ( t ) d t , d y ( t ) d t

Para a nossa situação, temos que:

x t = e t

y t = e 2 t

Então substituindo na relação:

v t = d d t e t   i + d d t e 2 t   j

v t = e t   i + 2 e 2 t j

Em t = 0 :

v 0 = 1   i + 2   j

Passo 3

A velocidade escalar da partícula é:

v t = d x d t 2 + d y d t 2

Para a gente:

x ' t = e t

y ' t = 2 e t

Então temos que:

v t = e t 2 + 2 e 2 t 2

v t = e 2 t + 4 e 4 t

Colocando em evidência:

v t = e 2 t 1 + 4 e 2 t

Retirando o e 2 t da raiz:

  v t = e t 4 e 2 t + 1

Passo 4

O vetor aceleração da partícula é:

a t = d v d t = d 2 r ( t ) d t 2 = d 2 x ( t ) d t 2 , d 2 y ( t ) d t 2

Sendo:

v t = e t   i + 2 e 2 t j

Derivando então a equação da velocidade:

a t = d v d t = d 2 r d t 2 =   e t   i + 4 e 2 t   j

Em t = 0 :

a 0 =   1   i + 4   j

Passo 5

Para esboçar a curva, vamos transformar a equação paramétrica em equação cartesiana:

x = e t ,     ( 1 ) y = e 2 t → y = e t 2     ( 2 )

Aplicado a equação ( 1 ) em ( 2 ) :

y = e t 2 → y = x 2

Ou seja, uma parábola.

O gráfico dela é:

Vemos aqui o vetor da velocidade em t = 0 ,

v 0 = 1   i + 2   j

Ele possui uma unidade no sentido + x e duas unidades no sentido + y , seu tamanho é o valor do seu modulo, e ele deve iniciar em t = 0 .

Já o vetor aceleração,

a 0 =   1   i + 4   j

Possui uma unidade no sentido + x e quatro unidades no sentido + y , o tamanho do vetor é o seu modulo, e ele se inicia em t = 0 .

Resposta

v t = e t   i + 2 e 2 t j

v t = e t 4 e 2 t + 1

a t = d v d t = d 2 r d t 2 =   e t   i + 4 e 2 t   j

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