Determine os vetores velocidade e aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.

r(t) = raiz(2) + i + e^t + j + e^(-t) + k

Passo 1

E aí, pessoal. Beleza?

Nessa questão nós temos o vetor posição da partícula e queremos obter velocidade, aceleração e a velocidade escalar.

Uma partícula que tem uma função vetorial de posição do tipo:

r t = ⟨ x t , y t , z t ⟩

Tem como função vetorial velocidade:

v t = d r ( t ) d t = d x t d t , d y t d t , d z t d t

Velocidade escalar:

v t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2

E vetor aceleração:

a t = d v d t = d 2 r ( t ) d t 2 = d 2 x t d t 2 , d 2 y t d t 2 , d 2 z t d t 2

Então nosso trabalho vai ser calcular um tanto de derivadas e aplicar nas definições.

Vamos lá!

Passo 2

Queremos calcular o vetor velocidade, velocidade escalar e aceleração da seguinte função vetorial:

r t = 2 t   i + e t   j + e - t   k

Vamos calcular a velocidade:

v t = d d t 2 t ,   d d t e t , + d d t e - t  

v t = 2   , e t , - e - t  

Passo 3

A velocidade escalar da partícula é:

v t = 2 2 + e t 2 + - e - t 2

v t = 2 + e 2 t + e - 2 t

Passo 4

O vetor aceleração da partícula é:

a t = d 2 r d t 2 = d v d t

a t = d d t 2 ,   d d t e t ,   d d t - e - t

Daí, derivando cada componente, obtemos:

a t = ⟨ 0 , e t , e - t   ⟩

Resposta

v t = v t = 2   , e t , - e - t  

v t = 2 + e 2 t + e - 2 t

a t = ⟨ 0 , e t , e - t   ⟩

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