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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.1 - Ex. 6

Calcule os limites.

lim t → ∞ ⁡ t e - t , t 3 + t 2 t 3 - 1 , t   s e n 1 t

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos calcular o seguinte limite:

lim t → ∞ ⁡ t e - t , t 3 + t 2 t 3 - 1 , t   s e n 1 t

Pessoal, para calcular o limite de uma função vetorial, podemos tomar individualmente o limite de cada uma das funções componentes.

Nesse caso, as componentes são:

x = t e - t

y = t 3 + t 2 t 3 - 1

z = t   s e n 1 t

Assim, devemos calcular o limite para t → ∞ para cada uma dessas componentes e depois a gente junta tudo novamente 😉

Passo 2

Vamos fazer primeiro o limite da componente x :

lim t → ∞ ⁡ x t = lim t → ∞ ⁡ t e - t ∴

lim t → ∞ ⁡ x t = lim t → ∞ ⁡ t e t

Se substituirmos t = ∞ no numerador e no denominador temos que ambos vão para infinito, então podemos utilizar a regra de L’Hôspital para calcular o limite.

Derivando o numerador e o denominador:

lim t → ∞ ⁡ x t = lim t → ∞ ⁡ t e t ∴

lim t → ∞ ⁡ x t = lim t → ∞ ⁡ 1 e t

Aplicando o limite:

lim t → ∞ ⁡ x t = 0

Passo 3

Limite da componente y :

lim t → ∞ ⁡ y t = lim t → ∞ ⁡ t 3 + t 2 t 3 - 1

Colocando o t 3 em evidência:

lim t → ∞ ⁡ y t = lim t → ∞ ⁡ t 3 1 + 1 t 2 t 3 2 - 1 t 3

Aplicando o limite:

lim t → ∞ ⁡ y t = 1 + 0 2 - 0 ∴

lim t → ∞ ⁡ y t = 1 2

Passo 4

Limite da componente z :

lim t → ∞ ⁡ z t = lim t → ∞ ⁡ t   s e n 1 t   ∴

lim t → ∞ ⁡ z t = lim t → ∞ ⁡ s e n   1 / t 1 / t

Se substituirmos t = ∞ no numerador e no denominador temos que ambos vão para zero, então podemos utilizar a regra de L’Hôspital para calcular o limite.

Derivando o numerador e o denominador:

lim t → ∞ ⁡ z t = lim t → ∞ ⁡ - 1 t 2 cos ⁡ 1 t - 1 t 2 ∴

lim t → ∞ ⁡ z t = lim t → ∞ ⁡ cos ⁡ 1 t

Aplicando o limite:

lim t → ∞ ⁡ z t = cos ⁡ 0 ∴

lim t → ∞ ⁡ z t = 1

Desta forma, substituindo na expressão do enunciado:

lim t → ∞ ⁡ t e - t , t 3 + t 2 t 3 - 1 , t   s e n 1 t = 0 , 1 2 , 1  

Resposta

lim t → ∞ ⁡ t e - t , t 3 + t 2 t 3 - 1 , t   s e n 1 t = 0 , 1 2 , 1  

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